绝对值不等式.doc

. .
优选
绝对值不等式
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国通用
课时时长〔分钟〕
60分钟
知识点
不等式的性质、根本不等式、绝对值不等式的证明、柯西不－b〕2＝0
所以，〔a－b〕2≥0 即a 2＋b 2≥2ab
由上面的结论，我们又可得到
定理2〔根本不等式〕：如果a，b是正数，那么≥〔当且仅当a＝b时取"＝〞
号〕
证明：∵〔〕2＋〔〕2≥2
∴a＋b≥2 ，即 ≥
. .
优选
显然，当且仅当a＝b时，＝
说明：1〕我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因而，此定理又可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2〕a 2＋b 2≥2ab和≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.
考点/易错点2
定理3：如果，那么。当且仅当时，等号成立。
推广：≥。当且仅当时，等号成立。
考点/易错点3
定理如果是实数，那么〔当且仅当时，等号成立.〕
〔1〕假设把换为向量情形又怎样呢.
根据定理1，有，就是，。所以，。
定理〔绝对值三角形不等式〕
如果是实数，那么
注：当为复数或向量时结论也成立.
. .
优选
推论1：
推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
考点/易错点4
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号含有未知数的不等式〔也称绝对值不等式〕，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.
2、含有绝对值的不等式有两种根本的类型。
第一种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间〔－a，a〕，如下列图。
图1-1
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是{或}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间的并集。如图1-2所示。
–
图1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
3、和型不等式的解法。
；
. .
优选
4、和型不等式的解法。
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进展求解．
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为假设干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得假设干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
5．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法
(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．
(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．
[提醒]　解含绝对值号的不等式要注意分类讨论思想的应用．
考点/易错点5
柯西不等式
(1)设a，b，c，d均为实数，那么(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，那么(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，那么|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
. .
优选
四、例题精析
【例题1】
1．不等式的解集是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由绝对值的几何意义，得表示数轴上的点到点的距离之和，易知，当或时，；所以的解集为.
【例题2】
函数
〔1〕解不等式；
〔2〕对任意，都有成立，数的取值围．
【答案】〔1〕6；〔2