求数列通项公式的11种方法.docx

求数列通项公式的11种方法方法
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法(逐差法)、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、
数-i[n(n-1)3x2]x5(n-1)+(n-2)+…+2+1x3
n(n-1)
=3x2n-1x52xn!
n(n-1)
所以数列｛a｝的通项公式为an=3x2n-1x52xn…
n

n是首项为1的正项数列，且
(n+1)a2一na2+a
n+1n
a=0
n+1n(n=1，2，3，…)，则
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它的通项公式是an
解：已知等式可化为：(an+1+anNn+1)a
n+1
-na1=0
n
•••an>0(neN*).•・(n+1)an+1-na
a
n+1
a
n
•••n22时,
an—1
n—
an
n-1
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a
•a
a1=
1
aa
a=———•—&一1
naa
n-1n—2
评注：本题是关于an和a
n+1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出a
+1=nan+n一1a1>-1，求数列｛an｝的通项公式.
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答案：an=(n一1)!・(a1+1)-1.
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评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an+1n
二na+n-1,转化为
an+1+1="(»+1)，若令bn=3+1，则问题进一步转化为^+1=^n形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于a二qa+f(n)
n+1n
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1•形如an+1二Can+d，(C丰0，其中ai二a)型
(1)若c=1时，数列｛an｝为等差数列;
(2)若d=0时，数列｛a｝为等比数列;
(3)若C丰】且4丰0时，数列｛an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设an+1+X=c(an+X)
得an+1=Can+(C-5，与题设an+i="
+d,比较系数得
(=—,(c丰0)
(c—1)X=d，所以c-1所以有:
d/d、
a+—c(a+)
nc—1n-1c—1
因此数列
d
a+
构成以1c―1为首项，以c为公比的等比数列,
d/d、/d、d
a+—(a+)-cn-1a—(a+)-cn-1-
所以nc-11c-1即：n1c一1c一1
dd
a+—c(a+)
规律：将递推关系an+1=can+d化为^1c-1nc-1,构造成公比为C的等比
{a+}a————+cn-1(a+—)
数列nc-1从而求得通项公式n+11-c1c-1
,,a=ca+da—ca+d
逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系n+in中把n换成n-1有nn-1
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两式相减有an+1-an=c(an-an-1)从而化为公比为c的等比数列｛an+1-an｝,进而求得通项公
a—a=cn(a—a)
+1n2/，再利用类型(1)即可求得通项公式•我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列｛a｝中，a=1,a=2a+1(n>2)，求数列｛a｝的通项公式。
n1nn—1n
解法一：・・・a=2a+1(n>2),
nn—1
又・・・a+1=2,.・.｛a+"是首项为2，公比为2的等比数列
1n
a+1=2n即a=2n—1
n，In
解法二：・.・a=2a+1(n>2),
*nn-1
:-a｝是首项为2,公比为2的等比数列,
n+1n
两式相减得a-a=2(a-a)(n>2)，故数列｛a
n+1nnn-1」
再用累加法的……
C11
｛3｝中,
a=2,a=a+,
1n+12n2求通项an
a
答案：n
n-1+1
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:an+1=P•an+qn(其中