2013山东高考数学理科试题及答案1.doc

2013山东高考数学理科试题及答案1
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值。
19．（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
，假设各局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）分别求甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、。
20．（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列前n项和为，且 （为常数）.。
21．（本小题满分13分）设函数（=……是自然对数的底数，）.
（Ⅰ）求的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于的方程根的个数。
22．(本小题满分13分) 椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交 的长轴于点，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.
参考答案
一、选择题
1．D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得，所以，选D.
2．C【解析】因为,所以，即,有5个元素，选C.
3．A【解析】因为函数为奇函数，所以，选A.
4．B【解析】取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即，选B.
5．B【解析】将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以，即，所以选B.
6．C【解析】作出可行域如图
由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由得，即,此时OM的斜率为，选C.
7．A【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件，选A.
8． D【解析】函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，，,排除A,选D.
9．A【解析】由图象可知，是一个切点，所以代入选项知，不成立，排除。又直线的斜率为负，所以排除C，选A
10．B【解析】有重复数字的三位数个数为。没有重复数字的三位数有,所以有重复数字的三位数的个数为，选B.
11．D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.
12．B 【解析】由，得。所以，当且仅当，即时取等号此时，.
，故选B.
13．3【解析】第一次循环，，此时不成立。第二次循环，，此时成立，输出。
14．【解析】设，则。由，解得，即当时，。由几何概型公式得所求概率为。
15．【解析】向量与的夹角为，且所以。由得，，即，所以，即，解得。
16．①③④【解析】①当时，，，所以成立。当时，，此时，即成立。综上恒成立。②当时，，所以不成立。③讨论的取值，可知正确。④讨论的取值，可知正确。所以正确的命题为①③④。
17．解：（Ⅰ）由余弦定理，得，
又，，，所以，解得，.
（Ⅱ）在△中，,
由正弦定理得 ，
因为，所以为锐角，所以
因此 .
18．解：（Ⅰ）证明：因为 分别是的中点，
所以∥,∥，所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面，
又平面,平面平面，
所以∥，
又∥，
所以∥.
（Ⅱ）解法一：在△中, ,,
所以，即,因为平面,所以，
又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,
所以平面，又平面，所以，同理可得，
所以为二面角的平面角，设,连接，
在△中，由勾股定理得，，
在△中，由勾股定理得，，
又为△的重心，所以
同理 ,
在△中，由余弦定理得，
即二面角的余弦值为.
解法二：在△中，,,
所以，又平面,所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,,,，,,所以,,,,
设平面的一个法向量为，
由，,
得
取，得.
设平面的一个法向量为
由，,
得
取，
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
19．解：