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导数
一 导数的定义
导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念
直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数
学家牛顿(Newton)和德
存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 ' 。
f x0 f x0 f (x)
令 ， ，则 式可改写为
x = x0 + ∆x ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) (3)
∆y f (x − ∆x) − f (x )
lim = lim 0 0 = f ' (x) (4)
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
∆y
所以，导数是函数增量 ∆y 与自变量增量 ∆x 之比 的极限。这个增量比称为函数关于自
∆x
变量的平均变化率（又称差商），而导数 ' 则为 在 处关于 的变化率。
f (x) f x0 x
若 或 式的极限不存在，则称 在点 处不可导。
(3)( (4)) f x0
二 导数的几何意义
我们已经知道 在点 的切线斜率 ，正是割线斜率在 时的极限，即
f (x) x = x0 k x → x0
f (x) − f (x )
k = lim 0
x→x
0 x − x0
由导数的定义， ' ，所以曲线 在点 的切线方程是