抽屉原理.pdf

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存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，
这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存
在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.）
抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有
些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。

整除问题
把所有整数按照除以某个自然数 m 的余数分为 m 类，叫做m 的剩余类或同余
类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]，例如[1]中含
有 1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽
，可以证明：任意 n+1 个自然数中，总有两个自然数的差是 n
的倍数。
例 1 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数。
分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它
们除以自然数 m 的余数相同，那么它们的差 a-b 是 m ，本
题只需证明这 8 个自然数中有 2 个自然数，它们除以 7
所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6
就是 7 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，
也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数。
例 2：对于任意的五个自然数，证明其中必有 3 个数的和能被 3 整除.
证明∵任何数除以 3 所得余数只能是 0，1，2，不妨分别构造为 3 个抽屉：
[0]，[1]，[2]
①若这五个自然数除以 3 后所得余数分别分布在这 3 个抽屉中(即抽屉中分
别为含有余数为 0,1,2 的数)，我们从这三个抽屉中各取1 个(如 1~5 中取 3,4,5)，
其和(3+4+5=12)必能被 3 整除.
②若这 5 个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有 3
个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为 0，或为 3，或为 6，故所对应的 3
个自然数之和是 3 的倍数.
③若这 5 个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3 个自然数之和能
被 3 整除.
例 2′：对于任意的 11 个整数，证明其中一定有 6 个数，它们的和能被 6
整除.
证明：设这 11 个整数为：a1，a2，a3……a11 又 6=2×3
①先考虑被 3 整除的情形
由例 2 知，在 11 个任意整数中，必存在：
3|a1+a2+a3，不妨设 a1+a2+a3=b1；
同理，剩下的8 个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5++a5+a6=b2；
同理，其余的 5 个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3
②再考虑 b1、b2、b3 被 2 ，b1、b2、b3 这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这
两个同奇（或同偶） 2|b1+b2
则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意 11 个整数，其中必有 6 个数的和是