矩阵与伴随矩阵的关系.pdf

A A *
方阵 与其伴随矩阵 的关系
摘 要 本文给出了 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A*的定义,讨论了  0 0  det A
A
当 是可逆矩阵时, det A  0 ,所以由上式得
 1   1 
A A* =  A*A = I
 det A   det A 
即
1
A1  A*
det A .证毕.
   T
A T * = A* .(显然)
 *  1
若 A 可逆，则 A1 = A *  .(显然)
0 rA n 1

 *  
设 A 为 n 阶方阵 n  2，则 r A  1 r A  n 1 [2].

 n rA n
引理 n nn  2矩阵 A , B 满足 AB  0 ,则 rA rB n .
 
证明 因为 AB  0 ,所以 B 的列向量是以 A r A  n ,则
det A  0 .由克拉默法则知,方程只有零解,从而 B  0 ,进而 rB 0 ;
   
若 r A  r  n , 则 方 程 组 的 基 础 解 系 中 含 n  r 个 向 量 , 于 是 r B  n  r , 因 此 有
rA rB n .
证毕.
下面证明.