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第十二章
格林函数

泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件
求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件
（格林函数法）
1. 源问题
例 静电场
处静电场

Date
第十二章
格林函数

泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件
求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件
（格林函数法）
1. 源问题
例 静电场
处静电场

Date
阜师院数科院

边界上可能出现感应电荷
处静电场是源电荷与感应电荷
的电势之和。
感应电荷是源电荷的结果。
计算变成
由
计算感应电荷，然后
是否能一次解决
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定解＝通解＋边界条件
求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件
（格林函数法）
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
T
设 和 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
感应电荷 是边界问题
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第二格林公式：
交换 和 ：
与上式相减
即
法向导数
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3. 边值问题
泊松方程
边界条件
定义在
第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)
泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
Date
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4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
单位负电荷在
奇异，不能化为
面积分。在 T 中挖掉半
径 ，在 的小球 。
小球边界 。
边界条件无法带入积分之中！
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在 ， 。
和
连续。
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这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。
解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的
积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。
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格林函数：
将冲量定理法扩展到空间坐标
对两端固定的弦
问题变成
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5. 边值问题的格林函数
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
第一边值问题(狄里希利问题)
第三边值问题
第一边值问
题格林函数
第三边值问
题格林函数
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在
，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，
具有同一个解，可作变换：
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电像法求格林函数
第一边值问
题格林函数
导体球内有一个点电荷 ，导体接
地。求球内电势。
电荷的存在，在导体上感应了电荷。
球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。
将感应电荷的电势由一
“电像电荷”的电势表示
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如右图，当导体外 M1 处有电荷
时，镜像电荷
将在球内M0 处。
现在，问题反过来，在 r0 处有电荷
-ε0 ，求r1，和镜像电荷。
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例1
球内第一边值问题
在球面上
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例2
半空间第一边值问题
解
按电磁学思维模式，
应当引入镜像电荷
表示平面（z=0）上
的感应电荷。
计算格林函数：
镜像电荷的作用为使
平面（z=0）上的电势
为零。显然，这个电荷
位于相对于平面（z=0）
对称的几何点，且有
相反的电量。
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法线方向与z轴方向相反
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