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数学参考答案　第页（共64页）数学参考答案及评分标准
南京市2020届高三第一次模拟考试
1. ［0,2]　解析:由题意令2x－x2≥0得0≤x≤[0，2］．
2. 　解析：设z＝a＋bi，那么（a－2＋b＝BD。
所以四边形B1BDD1为平行四边形，
所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.
又AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，
AA1＝DD1,
所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以
A1D1∥AD。（4分)
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，
故A1D1∥平面AB1D。（6分)
（2） 解：（方法1）在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点,
所以AD⊥BC。
因为平面ABC⊥平面B1C1CB,交线为BC,AD⊂平面ABC，
所以AD⊥平面B1C1CB，
即AD是三棱锥A—B1BC的高．（10分)
在△ABC中,由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2。
在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，
4
所以△B1BC的面积S△B1BC＝×42＝4.（精品文档请下载）
所以三棱锥B1—ABC的体积，即三棱锥A—B1BC的体积
V＝×S△B1BC·AD＝×4×2＝8.（14分)（精品文档请下载）
(方法2)在△B1BC中，因为B1B＝BC,∠B1BC＝60°,
所以△B1BC为正三角形，因此B1D⊥BC.
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，B1D⊂平面B1C1CB，
所以B1D⊥平面ABC，即B1D是三棱锥B1—ABC的高．（10分）
在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4得△ABC的面积S△ABC＝×42＝4。（精品文档请下载）
在△B1BC中，因为B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，
所以B1D＝2.
所以三棱锥B1-ABC的体积V＝×S△ABC·B1D＝×4×2＝8。（14分）（精品文档请下载）
17。 解：(1） （方法1）连结OC.
设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.
那么AB＝2，其中0＜x＜30。(2分)
所以S＝2x＝2≤x2＋（900－x2）＝900.（4分）（精品文档请下载）
当且仅当x2＝900－x2，即x＝15时,S取最大值为900 cm2。　
答:取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.（6分)（精品文档请下载）
(方法2)连结OC。设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S。
那么BC＝30sinθ，OB＝30cosθ，其中0＜θ＜.（2分)
所以S＝AB·BC＝2OB·BC＝900sin2θ.(4分）
所以当sin2θ＝1，即θ＝时，S取最大值为900 cm2,
此时BC＝15.
答：取BC为15 cm时,矩形ABCD的面积最大,最大值为900 cm2.（6分）（精品文档请下载）
(2） (方法1）设圆柱底面半径为r,高为x，体积为V。
由AB＝2＝2πr，得r＝，（精品文档请下载）
所以V＝πr2h＝（900x－x3)，其中0＜x＜30。(10分）
由V′＝（900－3x2）＝0，得x＝10，
因此V＝(900x－x3)在（0,10eq \r（3））上是增函数，在(10，30）上是减函数．（12分）（精品文档请下载）
所以当x＝10时，V的最大值为.
答:取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3.（14分)（精品文档请下载）
(方法2）连结OC，设∠BOC＝θ,圆柱底面半径为r，高为h，体积为V,
那么圆柱的底面半径为r＝,高h＝30sinθ，
其中0＜θ＜.
所以V＝πr2h＝sinθcos2θ＝(sinθ－sin3θ)．(10分)（精品文档请下载）
设t＝sinθ，那么V＝(t－t3)．
由V′＝·（1－3t2)＝0，得t＝，（精品文档请下载）
因此V＝（t－t3)在(0，）上是增函数，在（,1）上是减函数．(12分)（精品文档请下载）
所以当t＝时,即sinθ＝，此时BC＝10时，V的最大值为。（精品文档请下载）
答：取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3。(14分)（精品文档请下载）
18. （1） 解：由题意，设椭圆C:＋＝1(a＞b＞0）,（精品文档请下载）
那么2a＝4，a＝2.（2分）
因为点(2，1）在椭圆＋＝1上，（精品文档请下载）
所以＋＝1，解得b＝，
故所求椭圆方程为＋＝1。(5分)
(2） 证明：设A（x1，y1），B（x2,y2)(y1＜0,y2＞0)．
点F的坐标为F(3，0)．
由＝3，得（精品文档请下载）
即　①（7分）（精品文档请下载）
又A、B在椭圆