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第二章 矩阵
第一节　矩阵的定义
第二节　矩阵的运算
第三节　矩阵的逆
第四节　矩阵的分块
第五节　矩阵的初等变换与初等矩阵
第六节　初等变换求逆矩阵
第七节　矩阵的秩
§1 矩阵的定义
定义1 给
aij= aji (i,j=1,2,… ,n),
那么,A称为对称矩阵;若A'= -A,即
aij= - aji (i,j=1,2, …,n),
那么,A称为反对称矩阵。
对称矩阵的特点是:
它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。
反对称矩阵的特点是:
以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符
号相反,且主对角线上各元素均为0 。
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例6 设
那么
例 若A为奇数阶反对称矩阵，求其行列式的值。
解：设
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因为n为奇数，得
即奇数阶反对称矩阵行列式为零。
当A,B均为对称矩阵时，A＋B，kA仍为对称矩 阵。均为反对称矩阵时，有类似的结论。
注：
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五、方阵的行列式
定义6 由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA 。
设A,B为n阶方阵,为实数,则有下列等式成立
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注：可利用方阵的行列式的性质求行列式。
行列式的乘积：
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若A为方阵,行列式的各元素的代数余子式Aij亦可构成如下方阵
称为A的伴随矩阵。
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§3 矩阵的逆
定义7 设A为n阶方阵, 若A=0,则称A为奇异矩阵;否则, A为非奇异矩阵。
定义8 对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,满足
AB=BA=E,则称方阵A可逆,且把方阵B称为A的
逆矩阵,记作B=A-1 。
如果A是可逆的,则A的逆矩阵唯一 。
设B,C都是A的逆矩阵,则一定有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.
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设A,B均为同阶可逆方阵,数0, 下列运算法成立：
定理1 设A是n阶方阵, A是非奇异矩阵的充分必要条件为A是可逆的.
证 先证必要性。
设A为非奇异矩阵, 设A的伴随矩阵为A*,则有
说明A是可逆的。
（若A可逆，则其逆阵为
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说明A是非奇异矩阵。
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证 充分性。
由于A是可逆的,即有A -1,使A -1 A = E
即
即
所以
推论 对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使AB=E(或BA=E),则A一定可逆，且
证 由AB=E,有 , 得 ，故 存在，且
例9 求方阵
的逆矩阵。
解 因为
所以A-1存在,先求A的伴随矩阵A*
A11=3, A12=-3, A13=1,
A21=-6, A22=10, A23=-4,
A31=2, A32=-4, A33=2
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说明：可作为结论记住。
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推论：若A，B均为n阶方阵，且AB＝E，则BA＝E。
证明：由已知
说明：要验证B是A的逆矩阵，只需证AB＝E，或BA＝E即可。
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例 设n阶矩阵A和B满足A+B＝AB
1)证明A-E为可逆矩阵。
2)证明AB=BA。
解： 1) 因为 A＋B＝AB， 所以 AB－A－B＋E＝E
（A－E）（B－E）＝E
故 A－E与B－E互逆。
2)（A－E）( B－E)= (B－E）( A－E)
则 AB－B－A＋E ＝BA－A－B＋E
故 AB＝BA
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对于ｎ元线性方程组
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则ｎ元线性方程组可表示为
Ax=b
若A可逆，上式两边同时乘以A-1,得方程组的解为：
x=A-1b
这与克莱姆法则求得的解是相同的。
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§4 矩阵的分块
定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为A