数学附加题答案.doc

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实战演练·高三数学附加分
参考答案和解析
南京市2021届高三年级第一次模拟考试
21. A。 选修41：几何证明选讲
证明：连结OE。
因为PE切圆O于点E，所以∠OEP＝90°，所以∠OEB＋∠BEP＝90°.
因C。
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∵ A1D平面ACC1A1平面ABC⊥平面ACC1A1，
∠BCA＝90°BC⊥AC.
又 BC平面ABC,且平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，
∴ BC⊥平面ACC1A1。
如图，取AB的中点F，连结DF，∴ DF∥BC，
∴ DF⊥平面ACC1A1.
又平行四边形ACC1A1中,AC1⊥A1C平行四边形ACC1A1是菱形．（2分)
分别以DF，DC，DA1为Ox，Oy,Oz轴建立空间直角坐标系，
那么A(0,－1，0），A1(0，0，)，B(2，1，0)，C（0,1，0)，＝(0,1，），＝(2，1，－），＝（－2，0，0）．（4分)
设n1＝(x1,y1，z1）是平面AA1B的法向量,
∴ y1＋z1＝0，2x1＋y1－z1＝0，
解得n1＝（，－，1)．
∴ cos<n1，〉＝＝－.（5分)
∴ 点C到平面A1AB的间隔 d＝||×|cos〈n1，>｜＝2×＝。易得CC1∥平面A1AB，所以点C到平面A1AB的间隔 即为直线CC1和平面A1AB的间隔 d＝.（6分）
(2） 设n2＝（x2，y2，z2)是平面A1BC的法向量，
∴ 2x2＋y2－z2＝0，－2x2＝0，得n2＝(0，,1）．（7分)
由(1），得n1＝（，－,1）是平面AA1B的法向量，
∴ cos<n1，n2>＝－.（9分）
设二面角AA1BC的平面角为θ,那么cosθ＝｜cos〈n1，n2〉｜＝.(10分)
23。 解：(1) 设擂主能成功守擂的事件为A，三人攻擂获胜的事件为Bi,i＝1，2，3，那么P（Bi）＝pi，三人攻擂均失败的概率为(1－p1)(1－p2)(1－p3）．
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所以，擂主守擂成功的概率是P（A）＝（1－p1)（1－p2)(1－p3）．（3分)
（2) 比赛场数X＝1，2,3。
X＝1,比赛一场完毕，那么第一位业余棋手就获胜,其概率为P(X＝1）＝p1；
X＝2，比赛二场完毕，那么第一位业余棋手攻擂失败，第二位成功，其概率是P（X＝2)＝（1－p1)p2;
X＝3，比赛三场完毕，那么第一、二位业余棋手攻擂失败，
其概率为P(X＝3）＝（1－p1)(1－p2），
E(X)＝p1＋2（1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝3－2p1－p2＋p1p2.（6分)
（3) 按获胜概率从大到小的顺序出场，那么所需出场人员数的均值为最小．（7分)
下面证明以上结论．
设q1,q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，假设按q1,q2，q3的顺序出场，
由（2)可知其期望E（X)＝3－2q1－q2＋q1q2.
因为Δ＝（3－2q1－q2＋q1q2)－（3－2p1－p2＋p1p2)
＝2（p1－q1）＋（p2－q2)＋q1q2－p1p2
＝2(p1－q1)＋（p2－q2)－(p1－q1)p2－（p2－q2）q1
＝(2－p2）(p1－q1）＋(p2－q2)（1－q1)
≥（1－q1)（p1－q1）＋(p2－q2)（1－q1)
＝（1－q1)［（p1＋p2)－(q1＋q2)]≥0.
等号成立当且仅当q1＝p1,q2＝p2时．
所以，按获胜概率从大到小的顺序出场,所需出场人员数的均值为最小．（10分)
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苏州市2021届高三调研测试
21。 A. 选修41：几何证明选讲
证明：连结MN，
∵ CM是∠ACB的平分线，
∴ ∠ACM＝∠NCM，
∴ AM＝NM.(4分）
∵ ∠B＝∠B,∠BMN＝∠A，
∴ △BMN∽△BCA.
∴ ＝＝2。（8分)
∴ BN＝2MN＝2AM.（10分)
B。 选修42：矩阵和变换
解：由条件可知＝λ，(4分）
∴ 解得a＝λ＝2。(8分）
因此A＝,
∴ A2＝＝。(10分)
C. 选修44：坐标系和参数方程
解:ρ＝2sin即ρ＝2（sinθ＋cosθ),
两边同乘以ρ得ρ2＝2（ρsinθ＋ρcosθ)，
得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(x－1)2＝2.(4分）
消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1.
圆心C到直线l的间隔 d＝＝.（8分)
∵ d＝＜，
∴ 直线l和圆C相交．（10分)
D。 选修45：不等式选讲
证明：∵ a，b为正数，∴ （a＋b）（a－b）2≥0。
即(a2－b2）（a－b)≥0,展开整理得a3＋b3≥a2b＋ab2.(4分）
同理可