函数的连续性.ppt

函数的连续性
例 2
讨论
在
处的连续性.
解
右连续但不左连续,
故函数
在点
处不连续.
例 3
已知函数
在点
处连续，
求
的值.
解
因为
点
处连续，
则
即
函数的连续性
例 2
讨论
在
处的连续性.
解
右连续但不左连续,
故函数
在点
处不连续.
例 3
已知函数
在点
处连续，
求
的值.
解
因为
点
处连续，
则
即
连续函数与连续区间
在区间内每一点都连续的函数,
叫做在该区间内
的连续函数,
或者说函数在该区间内连续.
如果函数在开区间
内连续,
并且在左端点
处右连续,
在右端点
处左连续,
则称
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如,
有理整函数在区间
内是连续的.
函数
在闭区间
]
,
[
b
a
上连续.
,
例 4
证
即函数
对任意
都是连续的.
证明函数
在区间
内连续.
当
时，
例 5
讨论
在
处的连续性.
解
所以,
的左、右极限存在但不相等.
即
在点
在点
处不连续.
函数
例 6
解
讨论函数
在
处的连续性.
所以 在 处不连续
例 7
处的连续性.
解
讨论函数
在
因为
在
即
的右极限不存在.
例 8
讨论函数
解
在
处的连续
性.
在
处没有定义,
且
不存在.
所以,
函数
处不连续.
例 9
取何值时，
在
处连续.
解
要使
必须
故当且仅当
时，
函数
处连续.
在
连续函数的四则运算
定理1
若函数
在点
处连续,
则
在点
处也连续.
例如,
在
内连续,
故
在其定义域内连续.
复合函数的连续性
定理3
设函数
在点
处连续,
且
而函数
在点
处连续,
则复合函数
在点
处也连续.
例如,
在
内连续,
函数
在
内连续,
函数
在
内连续.
所以
注:
根据这个定理,
求复合函数
的极限
例 10
求
解
初等函数的连续性
定理4
一切初级函数
在其定义区间内都是连续的.
定理4的结论非常重要,
因为微积分的研究遇到的
函数基本上是初等函数,
其连续性的条件总是满足
的,
从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用
前景.
此外,
根据定理4,
求初等函数在其定义区
间内某点的极限,
只需求初等函数在该点的函数值
即
定义区间).
例11
求
因为
是初等函数,
且
是其定
义区间内的点,
所以
在点
处连续,
于是
最大值和最小值定理
定义
对于在区间
上有定义的函数
如果
有
使得对于任一
都有
则称
是函数
在区间
上的最大(小)值.
例如,
在
上,
在
上,
定理5(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数
一定有最大值和最小值.
定理6(有界性定理)
在闭区间上连续的函数
一定在该区间上有界.
零点定理
定义
如果
使
则
称为函数
的零点.
定理7(零点定理)
设函数
在闭区间
上连续,
且
与
异号
(即
即至少有
一点
使
那么在开区
内至少有函数
间
的一个零点,
即方程
在
内至少存在一个实根.
例 12
证
证明方程
少有一个实根 .
令
则
在
上连续 .
又
由零点定理 ,
使
即
方程
根
在区间
内至
在
内至少有一个实
内容小结
1.
函数的连续与间断
连续函数的概念
函数的左连续与右连续
连续函数与连续区间
函数的间断点及其分类
2.
连续函数的运算
连续函数的四则运算
感谢您的关注