2022年函数的单调性证明.docx

精选学习资料
- - - - - - - - -
精品资料 欢迎下载
函数的单调性证明
一．解答题（共 40 小题）
1．证明：函数 f（x）= 在（﹣ ∞, 0）上是减函数．
2．求证：函数 f（x）=
f（2x+1）=4x 2﹣ 6x+5,求 f（x）的解析式．
33．已知 f（2x）=x 2﹣ x﹣ 1,求 f（x）．
34．已知一次函数 f（x）满意 f（f（f（x）））=2x﹣ 3,求函数 f（x）的解析式．
名师归纳总结
- - - - - - -
第 7 页,共 23 页
精选学习资料
- - - - - - - - -
精品资料 欢迎下载
35．已知 f（x+2）=x 2﹣ 3x+5,求 f（x）的解析式．
36．已知函数 f（x﹣ 2）=2x 2﹣ 3x+4,求函数 f（x）的解析式．
37．如 3f（x）+2f（﹣ x）=2x,求 f（x）
38．f（
+1）=x 2+2
,求 f（x）的解析式．
39．如函数 f（
）=
+1,求函数 f（x）的解析式．
40．已知 f（x﹣ 1）=x 2﹣ 4x．
（1）求 f（x）的解析式；
（2）解方程 f（x+1）=0．
名师归纳总结
- - - - - - -
第 8 页,共 23 页
精选学习资料
- - - - - - - - -
名师归纳总结
精品资料
欢迎下载
第 9 页,共 23 页
精选学习资料
- - - - - - - - -
精品资料 欢迎下载
函数的单调性证明
参考答案与试题解析
一．解答题（共 40 小题）
1．证明：函数 f（x）= 在（﹣ ∞, 0）上是减函数．
【解答】 证明：设 x1＜x2＜0,就：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x2﹣ x1＞0,x1x2＞0；
∴f（x1）＞ f（x2）；
∴f（x）在（﹣ ∞, 0）上是减函数．
2．求证：函数 f（x）=4x+
在（ 0,
）上递减,在 [
,+∞）上递增．
【解答】 证明：设 0＜x1＜x2＜
,
）=4（x1﹣ x2）+
=（x1﹣
）﹣ （ 4x2+
就 f（x1）﹣ f（x2）=（4x1+
x2）（
）,
又由 0＜x1＜x2＜
,
就（ x1﹣ x2）＜ 0,（4x1x2﹣ 9）＜ 0,（x1x2）＞ 0,
名师归纳总结
就 f（x1）﹣ f（x2）＞ 0,就函数 f（x）在（ 0,
）上递减,
第 10 页,共 23 页
设
≤x3＜x4,
）,
同理可得： f（x3）﹣ f（x4）=（x3﹣ x4）（
又由
≤x3＜x4,
精选学习资料
- - - - - - - - -
精品资料 欢迎下载
就（ x3﹣ x4）＜ 0,（4x3x4﹣ 9）＞ 0,（x1x2）＞ 0,
就 f（x3）﹣ f（x4）＜ 0,就函数 f（x）在 [ ,+∞）上递增．
3．证明 f（x）= 在定义域为 [ 0,+∞）内是增函数．
【解答】 证明：设 x1,x2∈[ 0,+∞）,且 x1＜x2,就：
= ；
∵x1,x2∈[ 0,+∞）,且 x1＜x2；
∴ ；
∴f（x1）＜ f（x2）；
∴f（x）在定义域 [ 0,+∞）上是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数
f（x）=x+
在区间（ 0,2）上是减函数．
【解答】 证明：任取 x1,x2∈（0,2）,且 x1＜x2,
就 f（x1）﹣ f（x2）=
﹣ （
=
由于 0＜x1＜x2＜2,所以 x1﹣ x2＜0,x1x2＜4,
所以 f（x1）﹣ f（x2）＞ 0,即 f（x1）＞ f（x2）,
所以 f（x）=x+ 在（0,2）上为减函数．
5．证明函数 f（x）=2x﹣
在（﹣ ∞, 0）上是增函数．
【解答】 解：设 x1＜x2＜0,
∴f（x1）﹣ f（x2）
=2x1﹣ ﹣ 2x2+
=（x1﹣ x2）（2+ ）,
∵x1＜x2＜0,
名师归纳总结
- - - - - - -
第 11 页,共 23 页
精选学习资料
- - - - - - - - -
∴x1﹣ x2＜0,2+
＞0,
精品资料
欢迎下载
∴f（x1）﹣ f（x2）＜0,
即： f（x1）＜f（x2）,
∴函数 f（x）=2x﹣ 在（﹣ ∞, 0）上是增函数．
6．证明：函数 f（x）=x 2+3 在[ 0,+