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加窗FFT在频谱分析中的应用
1离散傅里叶变换(DFT)

板周期为N序列对应基频N，各次谐波序列ek[n]=』瞠卜0J-N -1
~ [n ]展开为 ~ [n] = IDFS X[k ] ^= — ^-1 X[k e，w[n]=〈
10 otherwise
Hamming 窗:
- cos 2" / M w[n]= <
10 otherwise
- / M + / M 0 < n < M
Blackman窗:w[n]=
10 otherwise
窗函数性能分析如下:
窗函数名称卜
主瓣宽度Q
3dB带宽一
最大旁瓣电平q
矩形卜
"Nq
*2诚 Nq
-13 dB#
Bartlett1
E N*
*2 诚 Nq
-25dB^
Hanning
■■.■■■.■■■.■WWWWW'.-Vr-
E N#
*2/E
-31dB^
Hamming 】
*2招
-41dB^
Blackman
*2 诚 Nq
-57dB^
3窗函数选择与频谱重构

窗函数的一般功能为截断无限长信号为有限长信号，但性能较好的窗函数还 应当有良好的频域特征，但由于测不准原理，窗函数时域受限的同时不可能在频 域上得到单频点脉冲，必定也是频谱受限信号，由于余弦函数良好的频域特征， 一般情况下，我们基于余弦函数构造需要的窗函数。
fa + a cos2兀n/M + a cos4兀n/M + a cos6兀n/M 0 < n < M
w[n] =〈 0 1 2 3
0 otherwise
从复杂度出发，我们只考虑三阶以内的窗函数。


I a + a cos 2兀n / M + a cos 4兀n / M + a cos 6兀n / M 0 < n < M
w[n] =〈 0 i 2 3
0 otherwise
n _nML sin(兀 k)
n W(k) = — £ a [W (k 一 m) + W (k + m)],W (k)= e 一 ( m +1) ——
m=0 m R R R M sin(K )
M
假设单频信号频点为f°，对应频域上的位置为0 =给,f为采样率，若咋 0 0 f s 0
s
为整数，则FFT的结果中包含所需的频点信息，可以直接读取。若。不是整数, 0
则需要采用插值重构算法才能得到所需的频谱信息。
取。附近两点k和k+1的FFT结果X(k)和X(k+1),有 0
X(k) = -A ILa [W (^-m-9 ) + W (k + m—O )],A 为信号幅度
2 k m R 0 R 0 k
m=0
▽ 1 4 V r 一舟(e-°o)sin(7i (k -m-Q )) sin(7i(k + ?n-0 ))
X(k) ~ — A 乙。[e W+l) —— ——+ e W + l) — Or——
2 k m . . n(k + m-B )、
m=o M sm( ) M sm( )
M M
由于SO v 1,M〉= 1024,可以取sin(“(* °o)) = “。°o),cos( " ) = 1 o M M M
7 y小 i 1 4 Yz n 「(T” sin(昶)工(—1” sin(旭)
nlX(k)l= A [ 八。+ o 1
2n k 川 兀(* _ 用 _ 0) 7i (Z; + m - 0 )
m=Q 0 0
I A sin(昶)ISO ly 1 ”、 西、(SO )初
=>l X(k) 1- k o o Z-j a ,(p(A^) —(p(0 ) + 0
7i m (^-0 )2 -m2 0 Af +1
m=0 0
令k = X o
m X (k) 1= —k e——，a
7i m 人2 — m2
m=0
A sin(7i0 )k (-14t7 -13a -10a -5a 认4+(49。+ 36a +9a + 4a )X2 -36a
=k 0 • 0 1 2 3 0 1 2 3 0
71 12 (X2 —1)(人2 —4)(人2 -9)
其中，令i + a + a + a = 0 0 12 3

1、 简化插值重构算法原则
为简化插值重构过程，我们令上式中高次项系数均为o,得到三阶窗函数参
数选择公式如下：
a + a + a + a =0,线性相位 0 12 3
a -a +a -a =1,线性相位
<01 2 3