第四章控制系统的根轨迹分析法课件.ppt

○
○
○
○
相角条件：
s
○
○
○
○
s
在 s 左边的零、极点其相角均为0
在 s 右边的零、极点其相角均为π
共轭复根相角为2π
在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否点。
2、根轨迹的起点和终点
起点： Kg =0 时
闭环特征方程
S = pi
闭环极点=开环极点
终点： Kg =∞ 时
S = zj
m个闭环极点=开环零点
S = ±∞
(n-m)个闭环极点=无穷零点
p3= -2
p2= -1
例 已知系统的开环传递函数，试确定
系统的根轨迹图。
解：
系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点。
开环零、极点：
p1= 0
z1= -1+j z2 = -1-j
s(s+1)(s+2)
Kr(s2+2s+2)
G(s)H(s)=
两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。
σ
jω
1
-1
-1
-2
0
p1
p2
p3
z1
z2
3、实轴上的根轨迹
实轴上某区间存在根轨迹，则该区间右边的开环零、极点数之和必为奇数。
Im
Re
Im
Re
0
-1
4、分离点与会合点
两条或两条以上的根轨迹在S平面上相遇又立即分开的点。
重根点
在实轴上两个开环极点之间如果是根轨迹，必有分离点；两个开环零点之间是根轨迹，必有会合点。
分离点→求解特征方程
的重根。
R
Y
[例]已知
代入求K
例 试确定系统分离点。
s(s+1)(s+2)
Kr
G(s)H(s)=
解：
根轨迹的分离点：
A(s)B'(s)=A'(s)B(s)
(3S2+6S+2)=0
s1=-
s2=-
s2没有位于根轨迹上，舍去。
600
σ
jω
0
p1
p3
p2
-1
-2
5、根轨迹的渐近线
与实轴交点：
与实轴交角：
当 n＞m 时，有 m 条根轨迹终止于开环的有限零点，而 n-m 条根轨迹将沿着与实轴交点为 –σa 、交角为 φ 的一组渐进线终止于无穷远处（无穷零点）。
Im
Re
0
-1
R
Y
[例]
在实轴上两开环极点之间是根轨迹，所以有分离点。
系统开环为
可得
例 已知系统的开环传递函数，试确定
系统的根轨迹图。
解：
s(s+1)(s+2)
Kr
G(s)H(s)=
1）开环零、极点：
2）实轴上的根轨迹段：
p1=0
p2=-2
p3=-3
p1~p2
p3~-
8
3）根轨迹的渐近线：
渐近线与实轴的交点:
渐近线与实轴的夹角 :
n-m= 3
3
σ=
-1-2
=
-1
3
(2k+1)π
+
θ=
+
180O
+
60O
= ,
4）系统的根轨迹
600
σ
jω
0
p1
p3
p2
-1
-2
例 试确定系统分离点。
s(s+1)(s+2)
Kr
G(s)H(s)=
解：
前例已求得根轨迹的渐近线和实轴上的根轨迹段
根轨迹的分离点：
A(s)B'(s)=A'(s)B(s)
(3S2+6S+2)=0
s1=-
s2=-
s2没有位于根轨迹上，舍去。
600
σ
jω
0
p1
p3
p2
-1
-2
例 已知系统的开环传递函数，试确定
系统的根轨迹图。
解：
，
(s+1)(s+2)
Kr (s+3)
G(s)H(s)=
1）开环零、极点
2）实轴上的根轨迹段
p1~p2
z1~-
8
p2=-2
p1=-1
z1=-3
3）根轨迹的渐近线
有一条根轨迹趋于无穷远
n-m= 1
渐近线与实轴的夹角：
1
(2k+1)π
+
θ=
+
180O
=
4）分离点和会合点
KrB'(s)+A'(s)=0
A(s)=S2+3S+2
B(s)=S+3
B'(s)=1
A'(s)=2S+3
整理得
(S2+3S+2)=(2S+3)(S+3)
S2+6S+27=0
解方程得
s1=-
s2=-
根轨迹的分离点
根轨迹的会合点
5). 根轨迹
σ
jω
0
p1
z1
p2
-1
-2
-3
6)根轨迹与虚轴的交点
交点
[例]已知系统开环
[解]已知与虚轴交点处
求与虚轴交点
系统特征