八个有趣模型搞定外接球内切球问题学生版.docx

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八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与切球
类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)
图1
图2
图3
图4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式
(2R)2 a2 b2 c2 ,即棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1,底面边长为2 J3,则该球的表面积为
⑵ 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 威，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
（3）在三棱锥P ABC中，PA PB PC J3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外
接球的体积为（ ）
大全
B. 一
C. 4
D.
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ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直
(4)已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 O的求面上
径，且SC 2 ,则此棱锥的体积为( )A
2 3 2 ,2
A . B. C. D.
6 6 3 2
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
图 10-1 图 10-2 图 10-3
题设：如图10-1,图10-2,图10-3，直三棱柱接于球(同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任 意三角形)
第一步：确定球心 O的位置，O1是 ABC的外心，则OO1 平面ABC ;
…1 .
第二步：算出小圆 O1的半径AO1 r , OO1 - AA, — h( AA1 h也是圆枉的局)；
2
第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2 R2 g)2 r2 R Jr2 g)2 ,解出 R
例4 (1) 一个正六棱柱的底面上正六边形， 其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
9
且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3 ,则这个球的体积为
8
(2)直三棱柱ABC A1B1cl的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120，则此球
的表面积等于
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EA EB 3, AD 2, AEB 60 ,
（3）已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,
则多面体E ABCD的外接球的表面积为
（4）在直三棱柱ABC AB1C1中，AB 4,AC 6,A —,AA 4则直三棱柱ABC A1B1C1的外接球
3
的表面积为
类型五、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 （如图11）
图11
第一步：先画出如图所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD的外心H1和H2;
第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连接OE,OC ；
第三步：解 OEH1，算出OH〔，在Rt OCH1中，勾股定理： OH12 CH12 OC2
例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC , △ PAC和^ ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为 .
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,
求外接球半径(AB CD , AD BC , AC BD )
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第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;
第二步：设出长方体的长宽高分别为
a,b,c, AD BC x, AB CD y, AC BD z,列方程组,
2 . 2 2
a b x
.2 2 2
b c y
2 2 2
c a z
2 2 2 2
(2R) a b c
补充：Va BCD
. 1 . , 1 .
abc abc 4 abc
6 3
图12
第三步：根据墙角模型,
2 2 2
2R a b c
2 2 2 '2 2 2
-2 x y z x y z
R , R ,i ,求出 R ,
8 . 8
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6 (1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一
个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是.
(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是( )
A 迪 B. — C. —
4 3 4 12
(1)题解答图
(3)在三棱锥 A BCD 中，AB CD 2, AD
BC 3,AC BD 4,则三
棱车B A BCD外接球的表面积为，
(4)如图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD 6, AD BC
7,则该三棱锥外接球的
表面积为.
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(5)正四面体的各条棱