判断函数单调性的常用方法.pdf

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
x [, ] 2
内层函数的单调减区间： 2
由于外层函数为增函数
1
x [ ,]
所以，复合函数的增区间为： 2
1
x [, ]
复合函数的减区间为： 2
四、求导法
导数小于 0 就是递减，大于 0 递增，等于 0，是拐点极值点
求函数值域的常用方法
1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).

多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）
2
江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4
Tel：67867713 89312123 89312125y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代
数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令 t=√(x-1),
则 t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t- 1)^2+2≤1,值域 (－∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1). 值域(1+2/(e-1), ＋∞).
5. 最值法
如果函数 f(x)存在最大值 M 和最小值 [m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的 .
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换 .
如果一个函数的值域不易求 ,而它的反函数的定义域易求 .那么,我们通过求后者
而得出前者.
7. 单调性法
若 f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]. 减函数则值域为
[f(b), f(a)].
8. 数形结合法
利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域 .
2
f (x)  4x  ax2  x3 (x  R) 1,1
例 1 已知函数 3 在区间 上是增函数 ,求实数 a 的
取值范围.
解:




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江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4
Tel：67867713 89312123 89312125说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函