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《高等数学》A
导数的定义及几何意义
导数
第三章
四则运算及复合函数求导法则
高阶导数与特殊函数的求导
函数的微分
重点:导数和微分的定义,求导法则,特殊函数的求导
难点:导数定义的理解,特殊函数的求导,高阶导数
《高等数学》A
导数的定义及几何意义
导数
第三章
四则运算及复合函数求导法则
高阶导数与特殊函数的求导
函数的微分
重点:导数和微分的定义,求导法则,特殊函数的求导
难点:导数定义的理解,特殊函数的求导,高阶导数
§ 特 殊 求 导 法
1. 反函数求导法则
§ 特殊求导法
定理1：
由反函数
求导法则
例3. 证明
证：y=arc tgx是x=tg y在
上的反函数
x=tg y在
内单调，可导，且
4. 隐函数求导法
以前所接触到的函数通常是y=f (x)的形式, 即左边是y ,而右边是一个不含y的表达式.
如
我们称为显函数
根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的
形式出现.
比如，给二元方程
y3+2x21=0
任给一个x，都可根据上面的方程，解出唯一的y
即:任给一个x都有唯一的一个y与之对应，因此, 所确定的隐函数.
定义2：设有二元方程F(x, y)=0，如果对任意的 xIx , 存在唯一的y满足方程F(x, y)=0, 则称方程F(x, y)=0在Ix上确定了一个隐函数
y = y(x).
y3+2x21=0
隐函数求导问题的提法
隐函数求导法
y+xy2e=0所确定的隐函数y=y(x)的导数y'.
[解答] (1)方程两边同对x求导.
注意到y是x的函数,
ey, y2都是x的复合函数.
e yy' + y2 + 2xy y' = 0
(2) 解出y'. (ey+2xy )y' = y2
故
[解]
例6. 求由y5 +2y –x –3x7 = 0所定隐函数y = y(x) 在 x = 0的导数 y (0).
[解答] (1)两边同时对x求导, 注意到y是x的函数. y5 是x的复合函数.
从而 5y4 · y  + 2y  –1–21x6 = 0
(2) 解出y  ,
(3) 注意到在原方程中, 当x=0时, y=0. 代入得
5. 参数方程求导法
•
旋轮线
内旋轮线
0
1
2
0
(2) 参数方程求导法
利用复合函数和反函数微分法, 得
分析函数关系:
[解]
七、对数求导法
有时常要求幂指函数或带连乘积的函数的导数.
这时可两端取对数, 再利用隐函数的求导思想和方法来求导,称为取对数求导法.
例９.
［解答］
求幂指函数的导数, 通常可用对数求导法
两边对x求导, 注意到y是x的函数, 从而lny是x的复合对数.
从而
［解答］ 可用对数求导法求导数.
练习1
两边对x求导, y是x的函数.
Good
Bye