概率论第一章.doc

概率论第一章
第一章随机事件与概率
,1,2,?,9十个数字中,先后随机取出两数,写出下列取法中的样本空间:
(1)放回时的样本空间?1
(2)不放回时的样本空间?2
解:
?00 01 02 ?09??01 02 03 ?09??10 11 12 ?19??10 12 13 ?19??????1???????2?????????90 91 92 ?99??,(2)?90 91 92 ?98?? (1)
,每次从袋内取出一球,直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间:
(1)不放回时的样本空间?1
(2)放回时的样本空间?2
={红,白红,白白红,白白白红,白白白白红}1解:(1)?
n个?????
={红,白红,?,白白?白红}2 (2)?
??{0,1,2,?,9},事件A={2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6},求: (1)A?B (2) A?(B?C)
解:(1) A?B?A?B?A?B?{2,3,4,5}
(2)
A?(B?C)?A?(BC)?A?{4,5}
?{0,1,5,6,7,8,9}?{4,5}
?{0,1,4,5,6,7,8,9} 、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上,问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 21P??4!12 解:
-9中,任取4个,能排成一个四位偶数的概率。
43112n?A?5040k?8A8?2296 1094解:,
?p?k2296?? 14. 设n个人排成一行,甲与乙是其中的两个人,求这n个人的任意排列中,甲
与乙之间恰有r个人的概率。如果n个人围成一圈,试证明甲与乙之间恰有r
1
个人的概率与r无关,都是n?1(在圆排列中,仅考虑从甲到乙的顺时针方向)。
i?1,2,?,n?r?1,解:(1)基本事件数为n!,设甲排在第i位,则乙排在第i+r+1位,
共n?r?1中取法,其余n-2个位置是n-2个人的全排列,有(n-2)!种,甲乙位
(2n-r-1)(n-2)!,由古典概置可调换,有C2种,故有利事件数由乘法原理有C
型的计算公式,得
1C(2n(?r?1)2n-r-1)(n-2)!P??n!n(n?1)
1C2(n?1)!2P??n!n 甲乙相邻的概率为:11
另解1:先固定甲,有n种,再放置乙,有n-1,基本事件数有n(n?1),有利事件数为2(n-r-1).故有
2(n?r?1)P?n(n?1)
另解2:先在甲乙之间选出r个人,然后将甲乙与这r个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.
r2n?r?1An2(n?r?1)?2A2An?r?1P??n!n(n?1) (2)环排列:甲乙按顺时针方向排列,中间相隔r个人的基本事件数是 n个位置取
2个人的排列,共有An种,而甲的位置选取有n种选法,故由古典概型的计算有
n1P?2?Ann?1
甲乙相邻的情形:设甲乙合一个位置,甲乙可互换,则甲乙相邻有2(n?2)!种排列,故
另解:一圈有n个位置,甲占一个后,乙还有n-1个,与甲相邻的共2个,故
2P?n?1(只考虑乙)
,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.
5解: 基本事件数为n?C10?252,有利事件数为
23C21) 2个伍分,其他任意,有C8?56
1222) 1个伍分,2个贰分:C2C3C5?60
1313) 1个伍分,3个贰分: C2C3C5?10 k56?60?101P???n2522 故
2P?2(n?2)!2?(n?1)!n?1.
17:箱中有?个白球和?个黑球,从其中任意地接连取出k+1(k?1????)球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率.
解:令A?{第k?1次(最后)取出的是白球},则
P(A)=kC1
?A?+??1
k+1A?+?(?+??1)!?(?+??k?1)!???+?
(?+??k?1)! ?
另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为???,有利于A的基本事件数为?,故
???
,求下列事件的概率:
(1)某一层有两位乘客离开。
(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。
(3)恰有两位乘客在同一层离开。
(4)至少有两位乘客在同一层离开。
解:
24C6(1) 某有2位乘客离开