余弦定理课件1.ppt

余弦定理
姓名:李荣荣
复习导入
r
P
O
A
当角O为锐角时,这一结果成立吗?当角O为钝角时了?
余弦定理
勾股定理:
A
a
B
C
b
c
证明:
A
a
B
C
b
c
余弦定理
A
c
b
A
b
c
当时
当时
当时
余弦定理的证明
已知: ABC为任意三角形,已知角C,BC=a,CA=b
求:AB边c.
A
B
C
a
b
c
解:
余弦定理
定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。
余弦定理的证明
b
A
a
c
C
B
证明:以CB所在的直线为X轴,
过C点垂直于CB的直线为Y轴,建立如图所示的坐标系,则A、B、C三点的坐标分别为:
8
例 1:在ABC中,已知a=7,b=10,
c=6,求A、B和C.
解:
b2+c2-a2
2bc
∵ cosA= =,
∴ A≈44°
a2+b2-c2
2ab
∵ cosC= =,
∴ C≈36°,
∴ B=180°-(A+C)≈100°.
∵sinC= ≈,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
c sinA
a
(
)
9
例 2:在ABC中,已知a=,b=,
C=82°28′,解这个三角形.
解:
由 c2=a2+b2-2abcosC,
得 c≈.
b2+c2-a2
2bc
∵ cosA= ≈,
∴ A≈39°2′,
∴ B=180°-(A+C)=58°30′.
a sinC
c
∵sinA= ≈,
∴ A=39°或141°(舍).
(
)
10
A
B
C
O
x
y
例 3:ABC三个顶点坐标为(6,5)、
(-2,8)、(4,1),求A.
解法一:
∵ AB =√[6-(-2)]2+(5-8)2 =√73 ,
BC =√(-2-4)2+(8-1)2 =√85 ,
AC =√(6-4)2+(5-1)2=2√5 ,
cosA= = ,
2 AB AC
AB 2+ AC 2- BC 2
2
√365
∴
∴ A≈84°.