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测度论基础知识总结

集合与基本运算
·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
n（n 维实数向量）到 R（实数）上的映射
·性质（映射与交并运算顺序可交换性）
对于 → ， 若干个子集 ， 若干个子集
f:X Y X Aα Y Bα
f(UAα)=Uf(Aα)
f −1(∪ B )=∪ f −1(B )
α α
包含于（只有这一个不一定等于！！！） )
f(∩ Aα) ∩ f(Aα
不等于的例子：A={1} ，B={-1}，f(x)=|x|，则 f(A∩B)≠f(A) ∩f(B)
f −1(∩ B )=∩ f −1(B )
α α
用集合相等定义可证明。

集合的势
·对等：如果集合 A 和 B 之间可以建立双射，则 A 对等于 B。记为 A~B
性质：①A 到 B 有单射→A 与 B 子集对等
A 到 B 有满射→B 与 A 子集对等
②A~B，B~C，则 A~C（传递性）
③A~C，B~D，则 A×B~C×D
判定：（康托—伯恩斯坦定理）若集合 X 与 Y 的一个真子集对等而且 Y 与 X 的一个真子集
对等，则 X~Y
·基数：有限个元素的集合为元素个数。
·势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。
无限个元素的情况下，定义自然数集的势是 （阿列夫 ）。 的势用 表示。
ℵ0 0 A |A|
·若 A 与 B 的一个子集对等，则|A|≤|B|，若与 B 的真子集对等，则|A|<|B|

可数集
·可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。
·性质：①任何无穷集合都包含可列子集
②可数集的子集还是可数集
③两个可数集的交、并还是可数集
④可数集和可数集的直积还是可数集
·定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。（有理数可列证明就把每一个有理数 p/q 映
射到(p,q)点，则有理数和 Z×N 对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间
套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方