时圆的方程.docx

Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
时圆的方程
5．圆的方程
一、内容归纳
知识精讲.
①圆的方程
(1)标准式：(x-a)2+(y-b)21=0
解方程组 x+y-1=0
2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5
∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25
(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将P、Q点的坐标分别代入①，得：
4D-2E+F=-20 ②
D-3E-F=10 ③ 令x=0，由①得y2+Ey+F=0 ④
由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根。
∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑤
②、③、⑤组成的方程组，得
D=-2 D= -10
E=0 或 E= -8
F= -12 F=4
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0
[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。
例2、(优化设计P112例1)设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹。
解：设动点P的坐标为（x，y）. 由.
化简得
当，整理得.
当a=1时，化简得x=0.
所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当a=1时，P点的轨迹为y轴。
【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。
例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得的弦长为，求此圆的方程。
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设圆方程为，由于直线截圆所得的弦长为，则有
解得，故所求圆方程为
或
【评述】求圆的弦长方法
（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
（2）代数法：用弦长公式
B
O
M
A
C
x
y
例4、已知⊙O的半径为3，直线与⊙O相切，一动圆与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。
解：取过O点且与平行的直线为x轴，过O点且垂直于
的直线为y轴，建立直角坐标系。
⊙O与⊙M的公共弦为
AB，⊙M与切于点C，则
⊙O的直径，MO垂直
平分AB于O。
由勾股定理得
即： 这就是动圆圆心的轨迹方程
【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较“整齐”
备用题：
例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。 设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)。
因为平行四边形对角线互相平分，故=，=
从而 x0=