高中数学不等式知识点.docx

不等式
知识点归纳 :
一、不等式的概念与性质
1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
2、不等式的性质：
（1） a
b
b
a
， a
b
b
a
（反对称性）
（2） a
i 1
i 1
i 1
（3）分析法： 果索因 基本步 ：要 ⋯⋯只需 ⋯⋯，只需 ⋯⋯ ①“分析法” 的理 依据： 找 成立的充分条件或者是充要条件。②“分析法” 是一个非常好的方法，但是 写不是太方便，所以我 可以利用
分析法 找 的途径，然后用“ 合法” 行表达。
（4）反 法： 正 反 直接 明 ，就用反 。
（5）放 法： 将不等式一 适当的放大或 小以达 目的放 法的方法有：
①添加或舍去一些 ，如： a 2 1 a ； n(n 1) n ；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
如： log 3
lg 5
( lg 3 lg 5) 2
lg
15
lg
16
lg 4 ；
2
④利用常用结论：
Ⅰ、 k
1
k
1
k
1
；
k
1
2 k
Ⅱ、 1
1
1
1
；
1
1
11 （程度大）
k 2
k( k 1) k 1 k
k 2
k(k 1)
k k 1
Ⅲ、 1
1
1
1 (
1
1
) ； （程度小）
k 2
k 2
1 (k 1)( k 1)
2 k 1 k 1
（6）换元法： 换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 如：
已知 x2
y 2
a2 ，可设 x
a cos , y
a sin
；
已知 x2
y 2
1 ，可设 x
r cos , y
r sin
( 0 r 1 ) ；
已知 x
2
y
2
2
2
1
，可设 x
a cos , y
b sin
；
a
b
已知 x 2
y 2
1
，可设 x
a sec , y
b tan
；
a
2
b
2
（7）构造法： 通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但 比较法、综合法、分析法和数学归纳法 仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方
法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。
例 1 已知 a，b∈R，且 a+b=1。
求证： a
2 2
b
2 2
25 。
2
证法一：（比较法）
即 a
2 2
b
2 2