绝对值不等式与柯西不等式.doc

绝对值不等式和柯西不等式
根底训练
1
【题文】设，且,那么的最小值为______。
【答案】
试题分析:由柯西不等式得:，所以，得
，所以，故答案为。
考点：柯西不等式.
2
【题文】，假设，那么的取值范围为______
综上可知当时,
法二：柯西不等式:由可得:
，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时,
考点:柯西不等式. （精品文档请下载）
11
【题文】，那么满足且 的概率为 .
【答案】
【解析】
试题分析:因为满足且 的平面区域是一个矩形，面积为,
而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.
考点：古典概型，简单的线性规划，圆的面积公式。（精品文档请下载）
12
【题文】设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，那么的最大值是 ，
此时a+b+c= 。
【答案】
【解析】
试题分析：由柯西不等式得，
所以，
当且仅当
且，即，
所以的最大值是 ，此时 。
考点：柯西不等式.（精品文档请下载）
13
【题文】假设关于的不等式至少有一个正数解，那么实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】
试题分析：
解:不等式至少有一个正解等价于不等式在内有解，
令,
当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图一所示,由题意知即
当时，在同一坐标系中画出函数和的图象如图二所示，由题意知方程组有两组不同的解,消去得，由得：，即
综上:,
所以答案应填
考点：1、含绝对值的不等式；2、等价转化和数形结合的思想。（精品文档请下载）
14
【题文】不等式对任意实数恒成立，那么正实数的取值范围 。
【答案】
【解析】
试题分析：因为不等式对任意实数恒成立，所以，利用绝对值的几何意义可知（当且仅当时等号成立），,从中求解得到或，而,所以.
考点:1。恒成立问题;2。绝对值的三角不等式；3。二次不等式.（精品文档请下载）
15【题文】函数．
（1)解不等式；
（2）假设不等式 ， 都成立，务实数的取值范围．
【答案】（1);（2）—1<m<2.
【解析】
试题分析:（1）利用分类讨论将原不等式中的绝对值号去掉，可得原不等式等价于或或最后将解得的三个不等式的解集求并集即可；（2），都成立可知需满足，求得f(x)的最小值后，解关于m的一元二次不等式即可。
（1）原不等式等价于或或
得或或，因此不等式的解集为 6分；
（2)
12分
。考点：1、解绝对值不等式；2、恒成立问题的处理方法.（精品文档请下载）
16
【题文】假设对于任意实数x不等式恒成立，那么实数的取值范围是： ;
【答案】
【解析】
试题分析：∵对于任意实数x不等式恒成立,∴对于任意实数x恒成立，
∴或对于任意实数x恒成立，∴或，∴.
考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题。（精品文档请下载）
17【题文】.
（1）求不等式的解集A；
（2）假设不等式对任何恒成立,求的取值范围.
【答案】(1） （2）
【解析】
试题分析：(1）把不等式转化为即可. (2） 恒成立转化为，即。
（1)∴
(2）恒成立对恒成立.
∴取值范围是
考点：绝对值不等式的解法；简单的不等式恒成立的问题。（精品文档请下载）
18
【题文】，且．
（1）试利用根本不等式求的最小值；
（2）假设实数满足，求证:．
【答案】（1)3(2)参考解析
【解析】
试题分析：（1）由，且．即m可化为。由柯西不等式可得结论.
（2）由（1）可得。再由柯西不等式即可得结论.
(1)由三个数的均值不等式得:
（当且仅当即时取“=”号）,故有． 4分
(2），由柯西不等式得：
(当且仅当即时取“="号）
整理得:，即． 7分
考点：。（精品文档请下载）
17
【题文】假设关于的方程有四个不同的实数解,那么实数的取值范围为（)
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
试题分析:要求，方程化为，
显然满足上述方程,是方程的一个根
假设
那么方程两边同除以有
假设那么方程变为，即
假设那么方程变为即
假设，（1）(2)均无解。显然不是(1）（2)的解
假设方程有四个不同的实数根，之前已得到是原方程的根，那么要求方程（1)（2)有3个根
对（1)假设判别式,那么．
对(2）假设判别式，解得,
前已分析
假设，那么(1)有两个不相等实根，两根之积为，两根之和为，说明两根均为负值,但（1)方程前提条件是,因此时方程(1）在前提下无解，原方程不可能有4个不同的实数根.
假设
，（1）方程无根，原方程不可能有4个不同