绝对值型不等式及三角不等式类型.docx

定理

1

如果

a,b

是实数，则

|a+b|

≤|a|+|b|

（实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．
解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.
∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a<－(－∞，－3)．
题型三解绝对值三角不等式
【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、
b∈R恒成立，求实数
x的范围.
|a＋b|＋|a－b|
≥f(x).
【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得
|a|
又因为|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2，则有2≥f(x).
|a|
|a|
5
解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤.
2
4
【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋a对任意的实数
a的取值范围是.【解析】(－∞，0)∪{2}.
题型四利用绝对值不等式求参数范围

x恒成立，则实数
【例3】(2009辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围.
【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，
33
综上得f(x)≥3的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞).
综上可知a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
1
2
1
2
2
【变式训练3】关于实数x的不等式|x－2(a＋1)
|≤2(a－
1)
与x
－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0
(a∈R)的解集分别为A，?
B的a的取值范围.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
【解析】由不等式
|x－2(a＋1)|≤2(a－1)
?
－2(a－1)
≤x－2(a＋1)≤2(a－1)
，
解得2≤
≤
a
2＋1，于是
＝{
x
|2
≤
≤
a
2＋1}.
a
x
A
ax
由不等式
x
2－3(＋1)
x
＋2(3
a
＋1)≤0?(
x
－2)[
x
－(3
＋1)]
≤0，
a
a
1
①当3a＋1≥2，即a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}，
3
因为?
，所以必有
2≤2a,
解得1≤
a
≤3；
A
B
a2
1≤3a
1,
1
②当3a＋1＜2，即a＜3时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}，
3a1≤2a,
因为

A?

B，所以

a2

1≤2,

解得

a＝－