求值域的种方法.docx

求函数值域的十种方法
(观察法) :对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 .求函数y = JX +1的值域。
【解析】而之0 ,，JX+1之1,，函数y = JX+1的值域为[1,y)。 【练习】
.求下列令
t=— x -x x -x
求出t的值域，进而可得到 y的
适用类型2:分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 数)的形式。
2
例7：求函数y = j —X的值域。 x2 -x 1
法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型
特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根
值域。
【练习】
2x2 2x 3 %/古小
的值域。
x2 x 1
式里是一次式时，用 代数换元；当根式里是二次式时，用 三角换元。
例8:求函数y =2x +Vl -2x的值域。
1 -t2 2 1 2 5
解：令 t =小—2x (t >0),则 x=-- , y = —t +t+1 = —(t——)十一。
2 2 4
- 1 3
;当 t =二，即 x 时，ymax
2 8
5 . 5 一
=一，无最小值。，函数 y=2x+5^2x的值域为(-00,一 ］。
4 4
例9：求函数y =x+2 + ,1 _(x+1)2的值域。
2 2
解：因 1 _(x+1)2 之0,即(x+1)2 <1
故可令 x+1=cosp 邛 w［°,n］，， sP+1rTT^=sinP + cosP+l7Wsin(P+三)十1。
4
- 0 <P <n,l <P 4^4^ 5 --告 <sin(P +；) <1 0 <s/2sin(p +^-)+1 <1 +72
故所求函数的值域为［0,1 + 冉
3
_ x —x 的值域。
x x4 2x2 1
2
解：原函数可变形为:
2x 1 -x2
_X tX _
2 2
1 x 1 x
2
可令 X=tanP，^r 1' = sin2P,t： = cos2P
1 x2 1 x2
_ 1
¥ max —.
4
1
¥ min ~~
4
而此时tan P有意义。
故所求函数的值域为 _ 1 1
一 4,4
例 y =(sin x+1)(cosx+1)，义运 ,—
的值域。
解：y = (sin x 1)(cos x 1)

q sin x +cosx =t , 川 sinxcosx =-(t -1)
2
由 t = sin x cosx = 2 sin(x —)
且乂----
_ 12,2
可得：-2<t<.2
2
•••当t=无时，ymax=3+6当1=返时，y=2+立
2 2 4 2
故所求函数的值域为 3 _1 3
4 2 '2
O
=x+4 + J5N?的值域。
解：由 5-x2 >0，可得 | x|E J5
故可令 x = . 5 cos ：, I ,尸［0,二］
•• 0
ymax =4 \ 而
当 时，ymin=4 一而
故所求函数的值域为：[4 _ 5, 4 , 10]
判别式法:
△之0,从而求得原函数的值域,
把函数转化成关于 X的二次方程F（x, y） =0 ；通过方程有实数根，判别式
形如 y = a1x2 +»12_（a「a2不同时为零）的函数的值域，常用此方 a?x b2x C2
法求解。
例13:
求函数
2 x -x
二3的值域。
x2 - x 1
解：由
-x 3
2
5^形信(y —1)x —(y—1)x + y—3 = 0,
当y =1时，此方程无解;
当 y#1 时，: x^R, i =(y-1)2 -4(y-1)(y-3) >0 ,
… 11 , 11
斛得 1MyM —，又 y#1, 1<yM 一
3 3
・•・函数 y =x2 —x+3 的值域为{y|1 <y £"} x -x 1 3
七、函数的单调性法： 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数
的值域。
例14：求函数y = x -《1 —2x的值域。
解：,•,当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-^1 -2x随x的增大而增大,
，函数y = x _ 1 -2x在定义域
,1 -1 1
一 y E - —J1—2乂一=一,
2 . 2 2
，函数y = x 一 ... 口X的值域为 =寸01 _ JXT1的值域。
解：原函数可化为：y =
令y1 = q174?, y2 = jx?，显然y1,y2在［1,-］上为无上界的增函