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音叉的受迫振动与共振实验
华中科技大学
一、预备问题
1、实验中策动力的频率为 200Hz时，音叉臂的振动频率为多少？
2、实验中在音叉臂上加祛码时，为什么每次加祛码的位置要固定？
二、引言
实际的振动系统总会受到各种阻力。系统其中6并非是振子的固有角频率， 而是驱动力的角频率， 其次A和中 不决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事实上， 只要将式（8）代人方程（6）,就可计算出
A= Fo Fo (9)
2 ( m- k)2 m • o --2 L 4、2 .2
\ o
tgJ—— (10)
m
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..f 2 k
其中： o = 一, 二 2、： m
m
在稳态时，振动物体的速度
dx
V Vmax COS( t -)
dt 2
其中
_ Fo
V m a x-
2 ( m 一)2
\ co
3、共振
在驱动力幅值Fo固定的情况下，应有怎样的驱动角频率 8才可使振子发生强烈振
动？这是个有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。
速度共振
从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差 中十几/2, 一般地说，外力方向与物体
运动方向并不相同， 有时两者同向，有时两者反向。同向时驱动力做正功， 振子输人能量; 反向时驱动力做负功， 振子输出能量。输人功率的大小可由 F V计算。设想在振子固有频
率、阻尼大小、驱动力幅值 Fo均固定的情况下，仅改变驱动力的频率 « ,则不难得知,
如果满足最大值 缶m-k/8=0时，振子的速度幅值 Vmax就有最大值。
由0m - =0可得:
二 0
Vmax
3=与，这时tg呼t如，中=—三
2、m 2
由此可见，当驱动力的频率等于振子固有频率时， 驱动力将与振子速度始终保持同相，
于是驱动力在整个周期内对振子做正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最 大的幅值。这一现象称为速度共振。速度幅值 Vmax随⑴的变化曲线如图1所示。
显然不或6值越小，Vmax~«关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般 用锐度表示，其值等于品质因素：
, '0 f0
Q=———=—— (13)
'2 - ' 1 f2 - f1
其中f0为8。对应的频率，f1、f 。
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图1速度共振曲线
图2位移共振曲线
、位移共振
驱动力的频率 3为何值时才能使音叉臂的振幅 A有最大值呢？对式(9)求导并令其
一阶导为零，即可求得 A的极大值及对应的 ④值为：
A二 F02 2 ( 14)
2 m、： 0 -二
一丁
00 r =丑0 —26 (15)
由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的圆频率 。=，音叉臂的位移振幅 A有 最大值，称为位移共振，这时的 «< 30。位移共振的幅值 A随3的变化曲线如图2所示。
由(14)式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼 6有关。阻尼越大，振幅的最大值越 小；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼 6很小，发生共振时位移共振 幅值过大，从而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。
比较图1和图2可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。 对于有阻尼的振动系统，
当速度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点 有最大幅值的速度时，其运动时受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没 有能全部转变为回转点上的势能， ，如果阻尼很小，两种共振的条 件将趋于一致，这一点也可从图 2的位移共振曲线清楚地看出来。
4、音叉的振动周期与质量的关系
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从公式（4） 1=至=27T 可知,在阻尼6较小、可忽略的情况下有:
1 J2
(16)
这样我们可以通过改变质量 m,来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为 256Hz
的音叉的两臂上对称等距开孔，可以知道这时的 T变小，共振频率f变大；将两个相同质
量的物块mx对称地加在两臂上， 这时的T变大，共振频率f变小。从式（16）可知这时：
2 4二2
T =——（m0 mx） （17）
k
其中k为振子的劲度系数，为常数，它与音叉的力学属性有关。mo为不加质量块时的 音叉振子的等效质量， mx为每个振动臂增加的物块质量。
由式（17）可见，音叉振动周期的平方与质量成正比。由此可由测量音叉的振动周期
来测量未知质量，并可制作测量质量和密度的传感器。
四、实验仪器
音叉受迫振动与共振实验