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均值不等式
引例如果a,b∈R, 那么a2+b2≥2ab,
当且仅当a=b时, 等号成立.
证明: (1)作差法
a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0
所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
(2) 数形结合
、b,,4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积,故得
a2+b2≥2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
a2+b2=2ab
定理如果a,b是正数, 那么
其中称为正数a,b的算术平均数
称为正数a,b的几何平均数
所以基本不等式也称为均值不等式
(3)数形结合
如图, AB是圆的直径, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.
易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则
A
B
C
D
E
a
b
而这个圆的半径为, 显然会大于或等于CD, 即
其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时, 等号成立.
例已知x,y都是正数, 求证:
(1)如果积 xy 是定值P,那么当x =y时,和 x+y有最小值
(2)如果和 x+y是定值S,那么当x =y时,积 xy 有最大值
C
,最小值为-2
,但无最小值
,但无最大值
,最小值为0
A
4
ab≥9
5
题1 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大. 最大面积是多少?
解: (1)设矩形菜园的长为 x m, 宽为y m, 则 xy=100, 篱笆的长为 2(x+y)m.
(2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m, 则 2(x+y)=36, x+y =18,矩形菜园的面积为 xy m2.