高等数学12数列的极限.ppt

高等数学12数列的极限
二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
及
且
取
因
故存在 N1 ,
从而
同理, 因
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
1. 收敛数列的极限唯一.
使当 n > N1 高等数学12数列的极限
二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
及
且
取
因
故存在 N1 ,
从而
同理, 因
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
1. 收敛数列的极限唯一.
使当 n > N1 时,
假设
从而
矛盾,
因此收敛数列的极限必唯一.
则当 n > N 时,
故假设不真 !
满足的不等式
例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列
收敛 ,
则有唯一极限 a 存在 .
取
则存在 N ,
但因
交替取值 1 与－1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时, 有
因此该数列发散 .
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取
则
当
时,
从而有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立.
例如,
虽有界但不收敛 .
有
数列
3. 收敛数列具有保号性.
若
且
有
证:
对 a > 0 ,
取
推论:
若数列从某项起
(用反证法证明)
*********************
*4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列
是数列
的任一子数列 .
若
则
当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当
时, 有
从而有
由此证明
*********************
三、极限存在准则
由此性质可知 ,
若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 ,
例如，
发散 !
夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .
则原数列一定发散 .
说明:
1. 夹逼准则 (准则1) (P50)
证:
由条件 (2) ,
当
时,
当
时,
令
则当
时, 有
由条件 (1)
即
故
例5. 证明
证: 利用夹逼准则 .
且
由
2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )
( 证明略 )
例6. 设
证明数列
极限存在 . (P53～P54)
证: 利用二项式公式 , 有
大
大
正
又
比较可知
根据准则 2 可知数列
记此极限为 e ,
e 为无理数 , 其值为
即
有极限 .
又
内容小结
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)
数列
极限存在的充要条件是:
存在正整数 N ,
使当
时,
证: “必要性”.
设
则
时, 有
使当
因此
“充分性” 证明从略 .
有
柯西
内容小结
1. 数列极限的 “  – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 保号性;
任一子数列收敛于同一极限
3. 极限存在准则:
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; *柯西准则
思考与练习
1. 如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2. 已知
, 求
时,
下述作法是否正确? 说明理由.
设
由递推式两边取极限得
不对!
此处
作业
P30 1, *3 (2) , *4
P56 4 (1) , (3)
4 (3) 提示:
可用数学归纳法证
第三节
故极限存在，
备用题

, 且
求
解：
设
则由递推公式有
∴数列单调递减有下界，
故
利用极限存在准则
感谢您的关注