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高等数学第十二章无穷级数
例1 判别下列级数的敛散性:
解答提示: (1)
据极限形式的比较判别法, 原级数发散 .
因调和级数发散,
利用比值判别法, 可知原级数发散.
用比值法, 可判断级数 收高等数学第十二章无穷级数
例1 判别下列级数的敛散性:
解答提示: (1)
据极限形式的比较判别法, 原级数发散 .
因调和级数发散,
利用比值判别法, 可知原级数发散.
用比值法, 可判断级数 收敛
再由比较法可知原级数收敛 .
利用比值判别法, 可知原级数在 时发散， 时收敛； 时仅当 收敛.
例2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
提示: (1)
P >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 收敛,
原级数绝对收敛 .
故
因
单调递减, 且
但
所以原级数仅条件收敛 .
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
因
=
故原级数绝对收敛 .
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,
再讨论
处的敛散性 .
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
二、求幂级数收敛域的方法
例4 求下列幂级数的收敛域 D.
1）
∴
解：
收敛区间
因为
所以收敛域
2）
∴
解：
收敛区间(-1,3).
因为
所以原级数收敛域为 [-1,3).
1）
解：
∴
∴ ，原级数收敛.
例5 求下列幂级数的收敛半径 R .
2）
解：
时
收敛 .
∴
∴
• 求部分和式极限
• 初等变换法: 分解、套用公式
• 映射变换法
（在收敛区间内）
逐项求导或求积分
难
对和式积分或求导
求和
直接求和: 直接变换,
间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
求部分和等
数项级数求和
三、幂级数和函数的求法
熟悉常用函数的幂级展开式：
1、
2、
3、
4、
5、等比级数：
注意：
例6 求幂级数 的和函数.
解法1：
先求出收敛区间
则
设和函数为
解法2： 易求出级数的收敛域为 ，
原式
例7 求幂级数 的和函数.
解:
先求出收敛区间
设和函数为
x≠0，
∴
显然 x = 0 时上式也正确,
故和函数为
而在
级数发散,
求
例8
的和函数.
解：
∵
∴ 收敛域为（-1，1）.
设
∴
发散，
当 ，
发散.
当
解: 原式 =
的和 .
*例9 （直接法)求级数
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
将其转化成幂级数求和函数问题.
原式
推广： ， .
例10
求 的和.
求
∵
∴
，收敛区间为（-1，1）.
代入， 发散，
发散.
∴收敛域为（-1，1） .
例11
求 的和.
代入求和:
解：设
• 间接展开法
— 利用已知展式的函数及幂级数性质
• 直接展开法
— 利用泰勒公式
四、函数的幂级数展开法
熟悉常用函数的幂级展开式：
1、
2、
3、
4、
5、等比级数：
例12
1）
2）
3）
4）
∵
∴
∴
例13
将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
练 习 题
练习题简答
一、1. B； 2. B；3. B；4. C；5. D；6. C；7. D； 8. A.
二、条件收敛.
三、 .
四、 1. ； 2. .
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