高等数学课件D93三重积分.ppt

高等数学课件D93三重积分
当被积函数在积分域上变号时, 因为
均为非负函数
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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重积分
小结: 三重积分的计算方
高等数学课件D93三重积分
当被积函数在积分域上变号时, 因为
均为非负函数
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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重积分
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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重积分
其中 为三个坐标
例1. 计算三重积分
所围成的闭区域 .
解:
面及平面
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重积分
例2. 计算三重积分
解:
用“先二后一 ”
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重积分
2. 利用柱坐标计算三重积分
就称为点M 的柱坐标.
直角坐标与柱面坐标的关系:
坐标面分别为
圆柱面
半平面
平面
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重积分
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
因此
其中
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
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重积分
其中为由
例3. 计算三重积分
所围
解: 在柱面坐标系下
及平面
柱面
成半圆柱体.
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重积分
例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成 .
与平面
其中由抛物面
原式 =
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重积分
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为
球面
半平面
锥面
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重积分
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
因此有
其中
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;
2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
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重积分
例5. 计算三重积分
解: 在球面坐标系下
所围立体.
其中
与球面
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重积分

所围立体体积.
解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,
利用对称性, 所求立体体积为
yoz面对称, 并与xoy面相切,
故在球坐标系下所围立体为
且关于 xoz
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重积分
内容小结
积分区域多由坐标面
被积函数形式简洁, 或
坐标系 体积元素 适用情况
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
* 说明:
三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
对应雅可比行列式为
变量可分离.
围成 ;
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重积分
1. 将
用三次积分表示,
其中由
所
提示:
思考与练面
围成 ,
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重积分
2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 =
奇函数
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重积分
3. 设由锥面
和球面
所围成 , 计算
提示:
利用对称性
用球坐标
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重积分
作业
P106 1(2),(3),(4); 4; 5;
7; 8; 9 (2);
10 (2) ; 11 (1),(4)
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重积分
备用题 1. 计算