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二次函数
定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下
二次函数
定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边往常为二次三项式。
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
极点式:y=a(x-h)^2;+k[抛物线的极点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物
]
注:在3种形式的互相转变中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,
能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的极点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
抛物线有一个极点P,坐标为
P[-b/2a,(4ac-b^2;)/4a]。
-b/2a=0时,P在y轴上;当=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的地点。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)

b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,
当y=0时,二次函数为对于x的一元二次方程(以下称方程),
ax^2;+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
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