重积分的计算法(19).ppt

一 利用直角坐标计算二重积分
§ 二重积分的计算法(一)
二 小结 思考题
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其中函数 、 在区间 上连续.
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1)［X－型域］
【X—型区域的特一 利用直角坐标计算二重积分
§ 二重积分的计算法(一)
二 小结 思考题
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其中函数 、 在区间 上连续.
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1)［X－型域］
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
1. 【预备知识】
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(2)［Y－型域］
【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
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(1).若积分区域为X－型域：
2.【二重积分公式】
即得
公式1
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【几点小结】
a
b
o
x
y
D
x
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3.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
公式2
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【说明】(1)使用公式1必须是X－型域，
公式2必须是
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序.
则有
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域.
Y－型域.
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【例1】
【解】
D既是X—型域
又是Y—型域
先求交点
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［法1］
［法2］
视为X—型域
计算较繁
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
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6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题
【补例1】交换下列积分顺序
【解】 积分域由两部分组成:
视为Y–型区域 , 则
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【随堂练习】

其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2 = x 所围成
【解】
积不出的积分，无法计算。
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【小结】
在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)
、、、、、
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二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择积分次序）
二、小结
［Y－型］
［X－型］
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