重积分的计算法(直角与.ppt

第二节 二重积分的计算法
利用直角坐标计算(续)
利用极坐标计算
小结
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如果积分区域为：
［X－型］
其中函数 、 在区间 上连续.
一、利用直角坐标系计算第二节 二重积分的计算法
利用直角坐标计算(续)
利用极坐标计算
小结
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如果积分区域为：
［X－型］
其中函数 、 在区间 上连续.
一、利用直角坐标系计算二重积分
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如果积分区域为：
［Y－型］
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
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注
ⅰ）二重积分化累次积分的步骤
①画域，②选序，③定限
ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限
ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，
若是X—型，
就先 y 后 x ;
若是Y—型， 就先 x 后 y .
注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。
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一、化二重积分为二个一次积分，会确定积分限
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解
积分区域如图
二、会交换积分顺序，把X型区域与Y型区域互换
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解
原式
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解
D
Y—型
I =
若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。
2
1
2
1
三、会计算两个一次积分，从后往前积分，后一次积分作为前一次积分的被积函数。
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例6 计算
解
D是X—型区域
要分部积分
不易计算
D
若将D看做Y型区域， 则须分片
易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。
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解
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解
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例10 计算
解
根据积分区域的特点
1
4
-1
2
应先对 x 后对 y 积分
但由于
对 x 的积分求不出，无法计算，
须改变积分次序。
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先 x 后 y 有
奇函数
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化二重积分为累次积分时选择积分次序的重
要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度
差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有
些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却
积不出来
以上各例说明
为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪
一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积
分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定
相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被
积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分
区域和被积函数的特点。
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二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
［X－型］
［Y－型］
（根据被积函数和积分区域的特点要正确选择积分次序）
思考题
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思考题解答
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练 习 题
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练习题答案
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作业: p95
1(2)(4); 2(2)(4); 6; 15(3)
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二重积分的计算法（2）
一、利用极坐标系计算二重积分
极坐标系下区域的面积
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1、区域特征如图，极点在区域之外
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解
在直角坐标系下，无法求解
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解
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解
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练习：
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例7 计算
解
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思考题
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
（在积分中注意使用对称性）
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思考题解答
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练 习 题
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练习题答案
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作 业
习题9-2
11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4).
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