《d17连续性间断点》.ppt

二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
第一章
三、连续函数的运算法则
四、初等函数的连续性
1
整理课件
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
第一章
三、连续函数的运算法则
四、初等函数的连续性
1
整理课件
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
2
整理课件
若
在某区间上每一点都连续 ,
则称它在该区间上
连续 ,
或称它为该区间上的连续函数 .
例如,
在
上连续 .
( 有理整函数 )
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
在闭区间
上的连续函数的集合记作
只要
都有
3
整理课件
对自变量的增量
有函数的增量
左连续
右连续
当
时, 有
函数
在点
连续有下列等价命题:
4
整理课件
例1. 证明函数
在
内连续 .
证:
即
这说明
在
内连续 .
同样可证: 函数
在
内连续 .
5
整理课件
在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在 ,
但
不连续 :
设
在点
的某去心邻域内有定义 ,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
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整理课件
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
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整理课件
为其无穷间断点 .
为其振荡间断点 .
为可去间断点 .
例如:
8
整理课件
显然
为其可去间断点 .
(4)
(5)
为其跳跃间断点 .
9
整理课件
定理2. 连续单调递增 函数的反函数
在其定义域内连续
三、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,
( 利用极限的四则运算法则证明)
商(分母不为 0) 运算,
结果仍是一个在该点连续的函数 .
例如,
例如,
在
上连续单调递增，
其反函数
(递减).
(证明略)
在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
递增
(递减)
也连续单调
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整理课件
定理3. 连续函数的复合函数是连续的.
在
上连续 单调 递增,
其反函数
在
上也连续单调递增.
证: 设函数
于是
故复合函数
又如,
且
即
11
整理课件
例如,
是由连续函数链
因此
在
上连续 .
复合而成 ,
12
整理课件
例2 .
设
均在
上连续,
证明函数
也在
上连续.
证:
根据连续函数运算法则 ,
可知
也在
上
连续 .
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整理课件
四、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义区间内连续
例如,
的连续区间为
(端点为单侧连续)
的连续区间为
的定义域为
因此它无连续点
而
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整理课件
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解: 令
则
原式
说明: 当
时, 有
15
整理课件
例5. 求
解:
原式
说明: 若
则有
16
整理课件
例6. 设
解:
讨论复合函数
的连续性 .
故此时连续;
而
故
x = 1为第一类间断点 .
在点 x = 1 不连续 ,
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整理课件
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
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整理课件
基本初等函数在定义区间内连续
连续函数的四则运算的结果连续
连续函数的反函数连续
连续函数的复合函数连续
结论：初等函数在定义区间内连续
说明: 分段函