《d38泰勒公式》.ppt

3. 8. 3 函数的Taylor与Maclaurin展开
§3. 8
3. 8. 2 Taylor (泰勒) 公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 8. 4 Taylor (泰勒) 公式的应用
展开
从而得：
整理课件
类似可得：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 余弦函数
整理课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4) 幂函数
即
整理课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别地，
当
时，
整理课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别地，取
当 k ≥2 时，有：
+
+
整理课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(5) 对数函数
整理课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ⅱ ）间接展开
由于将函数展开成带 Peano 余项表示式的唯一性，
因此，
可采间接的方法对函数进行展开。
即将所要展开的函数拆分
成已展开为带Peano 余项的 Taylor 公式函数和与积的形式。
例如：
整理课件
Taylor（泰勒）公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差：
M 为
在以
需解问题的类型:
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
为端点的区间上的上界。
整理课件
已知
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解:
取 x = 1 ，得：
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
因此
带 Lagrange 余项的 Maclaurim 公式为：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
整理课件
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响。
本例
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过
总误差为：
这时得到的近似值不能保证误差不超过
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
整理课件
例2. 用近似公式
计算
使其精确到 ,
解:
近似公式的误差：
令
解得：
即当
时，
能准确到 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
的近似值，
试确定 x 的取值范围。
由给定的近似公式计算的结果
整理课件
4
2
2
4
6
4
2
0
2
4
6
泰勒多项式逼近
机动 目录 上页 下页 返回 结束
几何说明：
整理课件
4
2
2
4
6
4
2
0
2
4
6
若取 n ≥ 5 ,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
则有
整理课件
例 3. 计算
解:
原式
第四节 目录 上页 下页 返回 结束

整理课件
例 4.
计算
解:
由于
用洛必塔法则不方便 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束
用泰勒公式将分子展开到
项，
整理课件
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明：
证:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
整理课件
由Taylor 公式知，
证:
例 5.
且
机动 目录 上页 下页 返回 结束
试证：
设函数
在闭区间
二阶连续可导，
分别取
得：
由此得：
于是，
即
整理课件
由题给条件知，
证:
例 6 .
有
且
机动 目录 上页 下页 返回 结束
试证明：
设函数
在闭区间
三阶连续可导，
至少存在一点
使得
分别取
得：
整理课件
下式减上式 , 得
机动 目录 上页 下页 返回 结束
即得：
令
整理课件
内容小结
1. Taylor 公式
其中:
当
时为 Maclaurin 公式 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( Lagrange 余项 )