《d51定积分》.ppt

第五章
积分学
不定积分
定积分
定积分
整理课件
第一节
一、定积分问题举例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
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定积分的概念及性质
第五章
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积分学
不定积分
定积分
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整理课件
第一节
一、定积分问题举例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
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定积分的概念及性质
第五章
整理课件
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
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矩形面积
梯形面积
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解决步骤 :
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
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3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 大化小.
将它分成
在每个小段上物体经
2) 常代变.
得
已知速度
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n 个小段
过的路程为
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3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性:
解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
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二、定积分定义
任一种分法
任取
总趋于确定的极限 I ,
则称此极限 I 为函数
在区间
上的定积分,
即
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
记作
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积分上限
积分下限
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,
而与积分
变量用什么字母表示无关 ,
即
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定积分的几何意义:
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
各部分面积的代数和
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定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
可积的充分条件:
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解:
将 [0,1] n 等分, 分点为
取
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注
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说明:
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根据定积
分定义可得如下近似计算方法:
将 [a , b] 分成 n 等份:
(左矩形公式)
(右矩形公式)
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(梯形公式)
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森
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公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
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三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
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6. 若在 [a , b] 上
则
推论1. 若在 [a , b] 上
则
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推论2.
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8. 积分中值定理
则至少存在一点
使
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例4.
计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均
速度.
解: 已知自由落体速度为
故所求平均速度
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二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
第二节
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