导数知识点总结.doc

-
. z.
导 数知识要点
导 数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数-
. z.
导 数知识要点
导 数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则
1. 导数〔导函数的简称〕的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.
注：①是增量，我们也称为“改变量〞，因为可正，可负，但不为零.
②函数定义域为，的定义域为，则与关系为.
2. 函数在点处连续与点处可导的关系：
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果在点处可导，则点处连续.
事实上，令，则相当于.
于是
⑵如果点处连续，则在点处可导，是不成立的.
例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为
-
. z.
4、几种常见的函数导数：
〔为常数〕 〔〕
5. 求导数的四则运算法则：
〔为常数〕
注：①必须是可导函数.
②假设两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.
6. 复合函数的求导法则：或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
7. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数在*个区间可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数在区间恒有=0，则为常数.
注：①是f〔*〕递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即*=0时f〔*〕 = 0，同样是f〔*〕递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f〔*〕在*区间有限个点处为零，在其余各点均为正〔或负〕，则f〔*〕在该区间上仍旧是单调增加〔或单调减少〕的.
8. 极值的判别方法：〔极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理〕
当函数在点处连续时，
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，则是极大值；
-
. z.
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，则是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小〔函数在*一点附近的点不同〕.
注①