微分方程的积分因子求解法.doc

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微分方程的积分因子求解法
常微分方程的积分因子求解法
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微分方程的积分因子求解法
常微分方程的积分因子求解法
内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识
定义 对于形如
（）
的微分方程，如果方程的左端恰是，的一个可微函数的全微分，即= ，则称（）为全微分方程.
易知，上述全微分方程的通解为 =, （为任意常数）.
定理 （全微分方程的判别法）设，在，平面上的单连通区域内具有连续的一阶偏导数，则（）是全微分方程的充要条件为
（）
证明见参考文献[1].
定义 对于微分方程（），如果存在可微函数，使得方程
（）
是全微分方程，则称为微分方程（）的积分因子.
定理 可微函数为微分方程（）的积分因子的充要条件为
-= （）
证明：由定理得，为微分方程（）的积分因子的充要条件为
， 展开即得：
-=.
上式整理即得（）. 证毕
注 若，则（）和（）同解。所以，欲求（）的通解，只须求出（）的通解即可，而（）是全微分方程，故关键在于求积分因子。
为了求解积分因子，必须求解方程（）。一般来说，偏微分方程（）是不易求解的；但是，当具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法
情况1 当具有形式时，方程（）化为
=，
即 =
于是得到：
定理 微分方程（）具有形如的积分因子的充要条件为
只是的连续函数, 不含. 此时易得, .
类似地
定理 微分方程（）具有形如的积分因子的充要条件为
只是的连续函数, 不含. 并且, .
例 求的通解.
解: 因 =, 故 .
方程两边同乘以得 ,
即, 故通解为=,
即，（为任意常数）.
情况2 如果具有形如的积分因子, 令, 则 =. 由得
=,
于是得到:
定理 微分方程（）具有形如的积分因子的充要条件为 只是的连续函数, 此时积分因子为
, (为任意非零常数).
例 求 的积分因子.
解: 因 =
故方程具有形如的积分因子, 取得， =.
情况3 如果具有形如的积分因子, 令, 则=. 由得
=,
于是得到:
定理 微分方程（）具有形如的积分因子的充要条件为只是 的连续函数, 此时积分因子为
, (为任意非零常数).
例 求的积分因子.
解: 因 =，
故方程具有形如的积分因子