傅里叶级数通俗解析.docx

傅里叶级数
本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数 代表的物理含义。
1•完备正交函数集
要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数门」.代W 构成一个函数集，若这些函数在区间“ •宀上满足
J 函数集里两个不同函 数之乘积的积分为0,正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。
既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集，那么用其中的一种函 数集都可以表达周期信号。
用复指数函数集来表示一个复杂信号苗「：
I -I | - moi：!： 1VT'：：1： ...=X''_ ,n 叩：T：
其中，: '(n=1,2,3,.,n)。
用三角函数集表示一个复杂信号「山:
f(t) = ao + aicoscoot + + ... + bi$ino)ot + b?.sinoj(；t + ...
F+為| ancos (n(s>ot) + bnsin (nct>ot)]
这就是三角形式的傅里叶展开式。
2•傅里叶级数
上面说到，三角函数集和复指数函数集都是正交完备函数集，那么对信号的 分解任务简化成求三角函数或者复指数函数前面的系数问题了。下面首先研究三 角形式的傅里叶级数
我们知道满足狄里赫利关系的周期信号nr:，可以展开成
f(t) = ao + aicoswot + a2cos2®ot - ... - bisinwot + bssinwot -...
一肚 + S' _ Aaj cos (n如)+ bnsin fnwot)]
n — 1
这种形式，现在我们来求各基函数前面的系数。
先求加。把三角形式的傅里叶展开式写成如下形式：
f(t)=扌 + 丫：= (lied) I brsniGi('｝；)0] (3)
对上式在-九川内积分，得
aEcos
|dt
"an
—<11 +
■瓠£
«■
推广到一般周期的情况:
a(; T(t)dl
a,. J' con Ckc）Ocos （n（j）t）dt -
求旳和bno用诫政畑)乘(3)，再对其两边在[F兀]内积分，得
Ck（i：l）dl -半J z ■■ i'k（i：l;（i1 + £
- '7 i. i
因为三角函数集是完备正交函数集，上式右边第一第三项均为0；第二项只 有当k=n这一项积分不为0。所以
cos「心门；:；'、(rrjt)c-
=Lh.-
从而有：' J'： --' -'-I■■-
A
推广到一般周期的情况：
&n =亍 (nui)di
同理，用 hi 门 乘(3)可以求得 b I - J. J I H H "I '■
推广到一般周期的情况：
h：i
1 fl
=—J qrWsin (nrot)
以上就是三角形式傅里叶级数的参数推导。 复指数形式傅里叶级数
接着研究复指数形式傅里叶级数。
根据欧拉公式：
= cos(I1C11) - jsin(ti^L) 心闷=cos (nwt) - jsin(n®1)
⑷
⑸
[(4)+(5)]/2 得
⑴畑 t) —
⑹
[(4)-(5)]/2 得
血(i迪0 = «严弋曲)
(7)
把(6),(7)代人⑶。
可以得出复指数形式的傅里叶级数公式