工程数学：线性代数丛政义东北大学出版社.docx

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工程数学：线性代数丛政义东北大学出版社
高 职 高 专 教 材
工 程 数 学
———线性代数
丛政义 编着
东 北 大 学 出 版 社

D1
D = 1, x
2 =
D2
D = 2.
第一章 行列式与克莱姆法则
3
设方程组
a1 1 x1 + a1 2 x2 + a13 x3 = b1 ,
a2 1 x1 + a2 2 x2 + a23 x3 = b2 ,
a3 1 x1 + a3 2 x2 + a33 x3 = b3 ,
由消元法解得
( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a3 2 -
a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a21 a33 - a13 a22 a31 ) x1 =
b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a13 b2 a3 2 -
b1 a23 a3 2 - a1 2 b2 a33 - a13 a22 b3 ,
( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a3 2 -
a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a21 a33 - a13 a22 a31 ) x2 =
a11 b2 a33 + b1 a2 3 a3 1 + a13 a21 b3 -
a11 a23 b3 - b1 a21 a33 - a13 b2 a31 ,
( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a3 2 -
a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a21 a33 - a13 a22 a31 ) x3 =
( a11 a22 b3 + a12 b2 a3 1 + b1 a21 a3 2 -
a11 b2 a32 - a12 a21 b3 - b1 a22 a3 1 ) .
若
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 ≠0,
则
x1 =
b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a13 b2 a32 - b1 a23 a32 - a12 b2 a33 - a13 a22 b3
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 ,
x2 =
a11 b2 a33 + b1 a23 a31 + a13 a21 b3 - a11 a23 b3 - b1 a21 a33 - a13 b2 a31
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 ,
x3 =
a11 a22 b3 + a12 b2 a31 + b1 a21 a32 - a11 b2 a32 - a12 a21 b3 - b1 a22 a31
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31
.
4 工程数学———线性代数
定义1 -2 把9个数排成的表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
称为 阶行列式 , 其值表示为
a11 a1 2 a1 3
a21 a2 2 a2 3 = a1 1 a2 2 a3 3 + a1 2 a2 3 a31 + a13 a21 a32 -
a31 a3 2 a3 3
a1 1 a2 3 a3 2 - a1 2 a2 1 a33 - a13 a22 a31 . ( 1 -2)
由式(1 -1)和 (1 -2 )可以看出 , 二阶与三阶行列式右端展开式的
个数分别为 2 ! 和 3 !, 且每项乘积的各元素都位于行列式不同的行
和列 , 而带“ + ”号 和“ - ”号项的个数各占一半 .
式(1 -2)的记忆方法如下图所示:
其中 , 实线乘积为“ + ”号 , 虚线乘积为“ - ”号 .
由定义 1 -2 可知 , 以上三元线性方程组的解可表示为
x1 =
D1
D
, x2 =
D2
D
, x3 =
D3
D
.
其中 ,
a1 1 a12 a13 b1 a12 a13
D = a2 1 a22 a23 ,