排列组合知识点与方法归纳.docx

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排列组合知识点与方法归纳
排列组合
　一、知识网络二、高考考点
　　1、两个计数原理的掌握与应用；
　　2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组，5}，映射 ，当x∈M时， 为奇数，则这样的映射 的个数是（　　 ）　　　　　　 　　　　 　　　　
　　分析：由映射定义知，当x∈M时，
　　当x∈M时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但 必须为奇数，因此，对M中x的对应情况逐一分析，分步考察：
　　第一步，考察x=-1的象，当x=-1时， ，此时 可取N中任一数值，即M中的元素-1与N中的元素有4种对应方法；
　　第二步，考察x=0的象，当x=0时， 为奇数，故 只有2种取法（ =3或 =5），即M中的元素0与N中的元素有2种对应方法；
　　第三步，考察x=1的象，当x=1时， 为奇数，故 可为奇数也可为偶数, 可取N中任一数值，即M中的元素1与N中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可知，映射 共有4×2×4=32个。
　　例3、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法
　　解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。
　　第一类：1与4同色，则1与4有5种涂法，2有4种涂法，3有4种涂法，　故此时有N
1=5×4×4=80种不同涂法。
　　第二类：1与4不同色，则1有5种涂法，4有4种涂法，2有3种涂法，3有3种涂法，故此时有N2=5×4×3×3=180种不同涂法。　　综上可知，不同的涂法共有80+180=260种。
　　点评：欲不重不漏地分类，需要选定一个适当的分类标准，一般地，根据所给问题的具体情况，或是从某一位置的特定要求入手分类，或是从某一元素的特定要求入手分类，或是从问题中某一事物符合条件的情形入手分类，或是从问题中有关事物的相对关系入手分类等等。
　　例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（　　 ）　种　　　　　　 种　　　　种　　　　 种
　　解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。
　　第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；
　　第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；
　　第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；
　　于是，由分步计数原理得，共有N=3×3×1=9种不同填法。
　　解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。
　　第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法：
　　
　　
2
4
1
3
　　
2
1
4
3
　　
2
3
4
1
　　第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法：
　　
　　
3
1
4
2
　　
3
4
1
2
　　
3
4
2
1
　　第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法：
　　
　　
4
1
2
3
　　
4
3
1
2
　　
4
3
2
1
于是由分类计数原理得共有N=3+3+3=9种不同填法，应选B
　　解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有N1=4×3×2×1=24种不同填法，其中不合条件的是　(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；　(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；
　　(3)恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种；　因此，有数字与格子编号相同的填法共有N2=1+6+8=15种
　　于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。
　　点评：解题步骤的设计原则上任意，但不同的设计招致计算的繁简程度不同，一般地，人们总是优先考虑特殊元素的安置或特殊位置的安排，以减少问题的头绪或悬念。
　　当正面考虑头绪较多时，可考虑运用间接法计算：不考虑限制条件的方法种数—不符合条件的方法种数=符合条件的方法种数。
　　在这里，直接法中的“分析”与间接法主体的“分类”，恰恰向人们展示了“分步”与“分类”相互依存、相互联系的辩证关系。
　　例5、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个
　　解：注意到这里“0”的特殊性，故分两类来讨论。
　　第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任