八年级数学学案-图形的平移与旋转知识点+考点.doc

八年级数学学案-图形的平移与旋转知识点+考点
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第三讲：图形的平移与旋转
【知识精讲】
知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系
（1）区别。
①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某'B＝∠AFD
∵ABCD为正方形
∴∠D＝∠ABF'＝90°
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∴F'、B、E、C在一条直线上
又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠F'AE＋∠2＝90°
又∵∠AFD＋∠1＝90°
∴∠AF'B＋∠1＝90°
∵∠1＝∠2
∴∠F'AE＝∠AF'B
∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE
例5. 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。
分析：此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。
而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。
解：由旋转的性质及特征可知：
∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'
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∴在△BPP'中，
又∵AP的延长线正好经过P'点
∴∠AP'C＝90°
∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°
从而可得∠APB＝135°
例6. 已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。
求证：AE＝FG
分析：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。
证明：延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF'
∵正方形ABCD
∴AB＝CB，∠ABC＝90°
又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'
∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'
∴AE＝CF'，AE⊥CF'
∵FG⊥AE
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∴FG∥CF'
又∵正方形ABCD，AB∥CD
∴四边形GFF'C为平行四边形
∴CF'＝FG
∴AE＝FG
例7. 如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。
求证：（1）OE⊥OF
（2）OE＝OF
分析：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。
证明：∵正方形ABCD
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°
∵DE⊥AD，∴∠PED＝90°
∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°
∴四边形EPFD为矩形
∴PE＝DF
又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°
∴∠APE＝45°
∴△AEP中，AE＝PE
∴AE＝DF
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∵正方形ABCD为中心对称图形
∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合
∴A与D为对应点
又∵AE＝DF
∴E与F为对应点
由旋转变换的特征知：OE⊥OF，OE＝OF
例8. △ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AE＝BF＝CD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。
（1）求∠1的度数；
（2）判断△GMH的形状。
分析：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。
而∠2＝∠4
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。
解：（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD
所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△
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AEC、△BFA、△CDB能够重合
∴∠2＝∠4
由∠1＝∠2＋∠3
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°
（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°
∴△GMH是等边三角形
【同步拓展训练】
1. 两个长为12cm的线段AB与CD相交于点O，∠AOD＝120°，判断AC＋BD的最小值。
2. 如图△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点