曲率及其曲率半径的计算 (4).ppt

曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
有向弧段的值、
弧微分公式
曲率、
曲率的计算公式
曲率圆曲率半径
一、弧微分
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
有向弧段的值、
弧微分公式
曲率、
曲率的计算公式
曲率圆曲率半径
一、弧微分
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
有向弧段 的值 s(简称为弧s) ：
M
M0
(
x
y
O
M0
x0
M
x
s>0
x
y
O
M0
x0
M
x
s<0
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函
数．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线
yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增
量为Ds，于是
下面来求s(x)的导数及微分．
M0
M
M 
x0
x
x+Dx
Dx
Dy
x
y
O
Ds
1，
因为
因此
由于ss(x)是单调增加函数，从而
于是 ds 
这就是弧微分公式．
) j
M1
M2
N1
N2
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
二、曲率及其计算公式
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均
弯曲程度，
例1 计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
解
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得
要使K 最大，只须2axb0，
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
对应的点为
2．若曲线由参数方程
给出，那么曲率如何计算？
1．直线上任一点的曲率等于什么？
讨论：
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
提示：
．
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
曲线在M点的曲率中心
三、曲率圆与曲率半径
M
y=f(x)
x
y
O
D
r
曲线在M点的曲率半径
曲线在M点的曲率圆
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
4
2
O
2
x
y
y=0．4 x2
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径．
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y0．8x ，y0．8，
y|x00，y|x00．8．
抛物线顶点处的曲率半径为
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
0．8．
把它们代入曲率公式，得