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第四章 函数的连续性
§2 连续函数的性质
局部有界性 若f (x)在x0连续，则 > 0, 使f (x)在U(x0, )有界.
局部保号性 若f (x)在x0连续，且 f (x0) > 0，则 > 0,第四章 函数的连续性
§2 连续函数的性质
局部有界性 若f (x)在x0连续，则 > 0, 使f (x)在U(x0, )有界.
局部保号性 若f (x)在x0连续，且 f (x0) > 0，则 > 0,  x
U(x0, ) r>0,有 f (x)>r.
局部不等式性 若 f (x), g(x)在x0连续, 且 f (x0) < g(x0)，则
 > 0,  x U(x0, )有 f (x) < g(x).
1、连续函数的性质
2、连续函数运算
1 四则运算 若 f , g在x0连续, 则 f  g , f ·g , f /g (g(x0)  0)
在x0均连续.
2 复合运算 若函数f在点x0连续, g在点u0 连续， u0 = f(x0), 则复合函数 g(f(x))在点x0连续.
根据连续性的定义：
例1：
定理1 (最大值和最小值定理) 闭区间上
的连续函数一定存在最大值和最小值.
x1
x2
至少存在一个
最高点(x1, f(x1))和
最低点(x2, f(x2)),
使得x[a,b],
有f(x1)≥f(x)
f(x2)≤f(x).
3. 闭区间上连续函数的性质
1. 若区间不是闭区间,定理不一定成立
2. 若区间内有间断点,定理不一定成立
注意:
“闭区间” 和“连续”不可缺少.
例如,
无最大值和最小值
也无最大值和最小值
又如,
推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
介值定理
定理2(介值定理) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,
且f(a)f(b), 为介于f(a)与f(b)之间的任意一个数,
即f(a)<<f(b)或f(a)>>f(b),
则至少存在一个内点(a,b),使得f()= .

1
2
3
连续曲线y=f(x)与水平直线y=至少有一个交点.
推论 (根的存在定理) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号（ f (a)f (b) < 0）, 则至少存在一个点(a,b),使得f()=0.
连续曲线弧y=f(x)的
两个端点位于x轴的
两侧, 则曲线与x
轴至少有一个交点.
若方程f(x)=0左端的函数f(x)在闭区间[a,b]两个端点处的函数值异号,则该方程在开区间(a,b)内至少存在一个根 .
应用:
例1. 证明方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.
证:
令f(x)=x34x2+1，
则f(x)在区间[0,1]上连续.
又 f(0)=1
f(1)= 2
由根的存在定理,
(0,1),使f()=0.
即342+1=0.
故方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根 .
>0,
<0,
4、反函数连续性
定理(反函数连续性) 若函数 f 在区间 I 内严格单调且连续，记J = f (I), 则其反函数 f –1在区间J上也严格单调且连续.
5、一致连续性
定义 设 f : ER. 若 > 0,  > 0, x, xE且| x x| < :
则称 f 在E上一致连续，记为f (E).
不一致连续的肯定叙述：
0 > 0,  > 0, x, xE且| x x| < 但
 0 > 0及xn, xnE: limn| xn xn|=0, 但
定理（一致连续性定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续
一切基本初等函数都是定义域上的连续函数
任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
例：
5、初等函数的连续性
作业