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第四章 函数的连续性
§1 连续性概念
一、函数在一点的连续性
二、 间断点及其分类
三、区间上的连续函数
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第四章 函数的连续性
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§1 连续性概念
§2 连续函数的性质
§量或改变量，
2. 连续的等价定义
先介绍一个用来描述变量变化的概念 ——增量.
设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域内有定义，
称函数值之差 f ( x0 + x ) - f (x0)为
函数 f (x)在点x0 对应于自变量的增量x 的增量或改变量.
y + y

y
x0 x
记为  y，
注2 增量是可正可负的，
记为Δx，
即
即
 f (x) = f (x0) +  y .
.
可用增量描述变量.
我们规定自变量的增量 .
x
 y
y = f (x )
且
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0+x
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在 x0的基础上调整x时，市场的反应(销售的增减量)如何？
它只是表示变量的一个新的记法.
实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念，
他须要研究的是与增量 x 相应的增量  y 的关系.
用它来描述变量的变化是分析函数的一个十分重要角度.
特别是在研究函数在一点附近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性.
例如，设变量 y — 某商品销售量，x — 该商品价格.
在一定条件下，x与 y 的关系可用价格——销售函数来描述 .
作为销售经理虽然关心价格销售函数，但更重要的问题是：
如果现在价格是x0，
如何分析增量x， y，正是微积分的灵魂.
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函数 在点连续的充分必要条件是
等价定义1
注3 函数在一点连续实质就是:
因此,结合函数极限的定义可有函数在一点连续的 - 定义 .
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当自变量变化不大时, 函数值变化也不大.
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注4 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x0 有极限与 f 在点 x0 连续之间的关系：
函数 在点连续的充分必要条件是
(i) f 在点 x0 有极限是 f 在点 x0 连续的必要条件.
等价定义 2
(ii) “ f 在点 x0 连续”要求: f 在点 x0 有极限且其极限值应
等于 f 在点 x0 的函数值.
f 在点 x0 连续
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其中D ( x ) 为狄利克雷函数.
证明函数 在点 x = 0 连续,
例1
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证
由 f (0) = 0 及 |D(x)|1,
为使
只要取  = ,
对任给的 > 0 ,
即可按 - 定义推得 f 在点 x = 0 连续. ▌
注 函数在一点处连续是函数的局部性态，
例1就是一个仅在点 x = 0 连续的函数.
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3. 左右连续
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定义2
设函数 f 在某U+(x0) (或 U-(x0) )内有定义,
若
则称 f 在点 x0 右(左)连续.
f 在点 x0 既是右连续, 又是左连续.

函数 f 在点 x0 连续的充要条件是：
即
且
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从而它在 x = 0 不连续(见图4-1).
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讨论函数
在点 x = 0 的连续性.
解
例2
而
所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续,
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函数的连续性在数学分析中是承上(极限理论与方法)启下(微分积分概念)的一个重要环节，
是使用
极限工具研究函数变化的微观性态和宏观性态的开始.
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我们按如下方法定义一个函数 ：
当 时,
当 时,
易见, 对于函数 , 是它的连续点.
设 为函数 的可去间断点,
则称 为 的可去间断点.
若 ，而 在点 无定义,
间断点的分类
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的间断点或不连续点.
则称点
或在点
二、 间断点及其分类
定义3
设函数
内有定义，
为函数
而不连续,
有定义

或有定义但
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则称点 为函数 的跳跃间断点.
若函数 在点 的左、右极限都存在，但
间断点的分类
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2．跳跃间断点
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点, 第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在.
3. 函数的所有其他形式的间断点