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方程求根的数值方法
第1页，共23页，2022年，5月20日，17点21分，星期三
定理：f(x)连续，f(a)与f(b)异号，a<b，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根，称(a,b)是该方程的一个有根区间。
若方程求根的数值方法
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定理：f(x)连续，f(a)与f(b)异号，a<b，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根，称(a,b)是该方程的一个有根区间。
若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个单根区间。
确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有
逐步搜索法、 图形放大法、 数值迭代逼近法
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2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
1）逐步搜索法
适当取一个小正数h，逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、…… 的值，直到相邻两个值异号，则取这两点的中点为近似根。
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3）数值迭代逼近法
（1）区间迭代法（缩小有根区间）
对分法 就是将已知有根区间[a,b]一分为二，比较三个数
的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。
黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，（黄金分割比例）
区间迭代法 1）对分法 2）黄金分割法
点迭代法 1）简单迭代法 2）牛顿切线法
3）单点割线法 4）两点割线法
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例1：用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根，。
解：设f(x)=x4+x-3。则
有根区间是(1,2)
有根区间(1,)
有根区间(1,)
有根区间(,)
有根区间(,)
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（2）点迭代法
若数列{xk} 收敛，则极限值就是准确根。满足x=φ(x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程求解的不动点法。
注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。
一般迭代法：将f(x)=0适当变形为x=φ(x),在根的邻近找一个点x0作为初始点，作迭代
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定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ(x) 在闭区间[a,b]上满足：
（1） 对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
（2） 满足Lipschitz条件
则 x＝φ(x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列{xk}收敛于x*。
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y=x
迭代法的几何意义
交点的横坐标即为f(x)=0的根。
y=φ(x)
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简单迭代收敛情况的几何解释
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解：由 建立迭代关系：
例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2)内的实根。
k=0,1,2,3…….
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但如果由x=x3-1建立迭代公式 xk+1=xk3-1，k=0,1···
仍取x0=，则有 x1=，x2=，显然结果越来越大，{xk} 是发散序列。
作业： 证明函数 在区间[1，2]上满足
迭代收敛条件。
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牛顿迭代法：方程f(x)=0，求导f’(x)，在根的邻近找一个点x0 作为初始点，作迭代
以此产生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。
当初值x0和方程的根x*接近时，f(x)近似等于
f(x0)+f’(x0)(x-x0)，
则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
看作近似同解方程。取
x=x-f(x)/f’(x)
作为迭代函数。
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