求数列通项公式的6种方法.docx

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一•利用递推关系式求数列通项的 7种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
倒数变换法、
由和求通项
定义法
（根据各班情况适当讲）
二。基本数列：等差数列、等情况时用求根公式)得到 an an 1
an与an1的更为明显的关系式，从而求出
(n 1)an 1 nan, a1 1,求数列｛ a｝的通项公
式
三、待定系数法 适用于an 1 qan f
（n） 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。
1 •形如
an 1 can d,(c
其中 ai ）型
例6已知数列｛an｝中，a〔 1,a 2an 1
1（n 2），求数列an的通项公式。
解法一：Qan 2an 11(n 2),
an1 2(an 11)
n n 1
又 Q a1 1 2, an 1 是首项为2, 公比为2的等比数列
an1 2n，即 an2„1
解法二：Q an2an 1 1(n 2),
an 1 2an
两式相减得an 1 an 2(an an 1)(n
2）,故数列an 1 an是首项为2,公比为2的等
比数列，再用累加法的
｛an｝中,
ai
i
2,an 1
n 1
1
2 '求通项
2 •形如:
an 1 P %
qn
（其中q是常数，且n 0,1）
①若p= 1时，即：an 1 an q,，累加即可・
②若 P 1时，即：％1 P
anq
求通项方法有以下三种方向:
n 1
-目的是把所求数列构造成等差数列
a n 1
FT3-
即： p
p
an
n
n

an 1
qn 1
Pq）n，令 bn 讣，则 bnl bn
.目的是把所求数列构造成等差数 列。
an
qn
）
,然后类型1,累加求通项•
bn
n
令
bn 1
n
q，则可化为
—b
q
q •然后转化为类型
5来解,
：目的是把所求数列构造成等差数列
设 a n 1q
n 1 /
p (an
n \
P ） •通过比较系数,求出
，转化为等比数列求通项
注意：应用待定系数法时，要求
p q,否则待定系数法会失效。
例7已知数列丽满足
2an4 3n1, a1
,，求数列an的通项公式。
解法一（待定系数法）
n /
13 2(an
3n1)
n1
比较系数得1
4, 2
则数列 9n4 3
是首项为 a1
4 31 11 1
1 1
5,公比为2
的等比数列,
所以 an 4 3
4 3n 1
n 1
5 2n 1
n 1
解法二（两边同除以
n 1
q ）：两边同时除以
n 1
3得:
4
32,下面解法略
解法三（两边同除以
n 1
p ）：两边同时除以2得:
an 1
n 1
4
歹3（2）,下面解法略
an
3n
**3 •形如 an 1 pan kn b
an 1 pan kn b
（其中k,b是常数，且k
°）
例8在数列的中,
a1
1习1
3an
2n，求通项an.（逐项相减法）
解:
an 13an2n,
n 2时 a n3an 1
2(n 1)
n 1)
利用类型5的方法知bn 5 3
即％ 1
an
5 3 1
n1
5n 1
a 3 再由累加法可得 n 2
2.
亦可联立
②解出
5n 1
3
2
** 2 pan 1 qan时将an作为f (n)求解
分析：原递推式可化为
an 2
an 1
)(an 1
an） 的形式
比较系数可求得
数列
an 1 an 为等比数列。
例11已知数列訥满足务2
5an 1 6an a1
求数列訥的通项公式。
解：设an 2
an 1 (5
)(an 1 an)
比较系数得
2，不妨取
2，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
贝 yan 22an
3(an