线性代数总结(知识点必考).docx

线性代数必考的知识点
1、行列式
n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；
代数余子式的性质：
、 A 和 a 的大小无关；
ij ij
、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;
、某行（列；
5.
矩阵秩的基本性质：
、0 < r(A ) < min(m,n);
mxn
、 r(AT)=r(A)；
、若 A^B，则 r (A) = r (B);
、若P、Q可逆，则r⑷=r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
、max(r(A),r(B)) <r(A,B) < r(A) + r(B);(探
、r(A + B) < r(A)+r(B) ；Y
、 r(AB)<min(r(A),r(B))； (※)
、如果A是m xn矩阵，B是n x s矩阵，且AB = 0，贝U:(探
I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；
I、 r(A)+r(B) < n
、若A、B均为n阶方阵，则r(AB) > r(A) + r(B) -n ;
6.
三种特殊矩阵的方幂：【我印象中 1,2 没学过】
、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;
'1 a c、
、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；
0 0 1丿
二项展开式： (a+b)n =C0an+C1an-1b1+
nn
+ CmUn -mbm +
n
+ Cn-1a1bn-1 + Cnbn = n
X Cmambn-m ；
n
m=0
注：1、(a + b)n展开后有n +1项;
7.
II、
III、
n(n -1) (n - m +1)
Cm =
n
组合的性质： Cm =Cn-m
nn
利用特征值和相似对角化：
n!
m!(n - m)!
C 0 = C n nn
Cm = Cm + Cm-1
n+1 n n
C r = 2 n
n
r=0
rC r = nCr-1 ；
n n -1
③、
伴随矩阵
r (A)二 n
r (A) = n — 1 ;
r (A) < n 一 1
n
①、伴随矩阵的秩：r(A*) = <1
0
|A
古)
、伴随矩阵的特征值：A (AX =XX,A* = |A|A-1 n A*X
九
、a* = |a|a-1、|a*| = |a|"-1
关于A矩阵秩的描述：
、r(A) = n , A中有n阶子式不为0, n +1阶子式全部为0；(两句话)
、r(A) < n , A中有n阶子式全部为0;
③、r⑷＞ n , A中有n阶子式不为0;
线性方程组：Ax = b，其中A为m xn矩阵，贝V：
、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程；
、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b为n元方程;
线性方程组Ax = b的求解：
、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
、齐次解为对应齐次方程组的解；
、特解：自由变量赋初值后求得;
11.
由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
①、
③、
④、
ra
a
a..
、
r x、
r