第四章 根轨迹分析法.ppt

第四章 根轨迹分析法
K取不同值：
（等于两个开环极点）
Im
Re
0
(两根重合于－)
（即0≤K≤1/4，两根为实根）
×零、极点分布如图。
×
×
×
●
×
×
0
﹣1
﹣2
﹣5
要判断 和 之间的线段是否存在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的开环零极点决定。
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
●
奇数个π，无论如何加减组合，总能使（2k＋1) π(k=0, ±1, ±2,…)成立。
相角条件
对于例题，
在实轴上的根轨迹：
×
×
×
●
0
﹣1
﹣2
﹣5
一条始于开环极点，止于开环零点，
另两条始于开环极点，止于无穷远处。
规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。
渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为：
渐近线与实轴的交点为：
l  它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
规则五、
证明：
见图4-5。
● 对于位于根轨迹上某一动点s0，
● 从各开环零极点到这一点的向
量的相角随s0轨迹的变化而变化，
● 当s0到达无穷远处，各相角相等，
令其为Φ，可写成：
● 进而求出渐近线夹角：
图4－5
×
×
×
●
×
×
●
0
﹣1
﹣2
﹣5
×
由对称性知，
渐近线一定交于实轴上，其交点实际上相当于零极点的质量重心。
按照重心的求法，可求知交点的坐标
对例4-4，
交点坐标为：
即（1，j0）。
渐近线与实轴夹角为：
1
×
0
×
×
●
﹣1
﹣2
﹣5
规则六、
当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根轨迹进入(离开)分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角。
性质: (重点讨论实轴上的分离点）
在此点上必出现重根。
利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴
上两相邻开环极点间时，必有一分离点。
若当根轨迹出现在实轴两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一分离点。
根轨迹在该点上对应的K是这段实轴区域的极值。
第一分离点：最大值，第二分离点：最小值。
×
×
K=0
K=0
K=∞
K=∞
分离点
分离点
根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式
的解。分离角 l是重根数。
由求极值的公式求出：
它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)
在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的s 值:
注意：求出结果，需经判断，保留合理解。
如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。
在例题4-4中，
解出：
对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-,j0）处。
×
×
×
●
0
﹣1
﹣2
﹣5
1
－
求出分离角为:
规则七、
根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根。
在例4-4中，系统闭环特征方程式为：
即：
劳斯行列式
当6-2K=0时，特征方程出现共轭虚根，求出K＝3。
虚根可利用s2行的辅助方程求出：
－与虚轴的交点
交点和相应的K值利用劳斯判据求出。
与虚轴的交点为
例4-4的根轨迹如图。
×
×
×
●
0
﹣1
﹣2
﹣5
1
K=.084
﹣.447
1、画出开环零极点
2、确定根轨迹根数
3、确定起止点，画出实轴上的根轨迹
4、求渐进线（n≠m）
5、求分离点
6、求与虚轴交点
7、画出根轨迹
8、求出特殊点对应的K值
K值由根轨迹幅值条件求出：
如分离点（-,j0）处的K值：
规则八、
根轨迹的起始角：
在开环复数极点px处，根轨迹的起始角为：
在开环复数零点zy处，根轨迹的终止角为：
若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。
证明：
设一系统的开环零、极点分布如图所示，
●
×
×
×
×
点为从 出发的根轨迹上一点。
该点到所有