排列(3)解排列问题的常用技巧.ppt

第十章排列、组合和二项定理
7/21/2017
排列⑶
⑶有条件限制的排列
解排列问题的常用技巧
解排列问题,首先必须认真审题,明确问题是否是排列问题,其次是抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答,同时,还要注意讲究一些基本策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。
下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。
(一)相邻问题——捆绑法
对于某几个元素要求相邻的排列问题,可先将相邻的元素“捆绑”在一起,看作一个“大”的元(组),与其它元素排列,然后再对相邻的元素(组)内部进行排列。
例1 7人站成一排照相,要求甲,乙,丙三人相邻,分别有多少种站法?
分析:先将甲,乙,丙三人捆绑在一起看作一个元素,与其余4人共有5个元素做全排列,有种排法,然后对甲,乙,丙三人进行全排列。
由分步计数原理可得:
种不同排法。
(二)不相邻问题——插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其它
元素排好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素
之间及两端的空隙之间插入即可。
例2 7人站成一排照相,要求甲,乙,丙三人不相邻,分别有多少种站法?
分析:可先让其余4人站好,共有种排法,再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入,则有种方法,这样共有种不同的排法。
(1)三个男生,四个女生排成一排,男生、女生各站一起,有几种不同方法?
〈3〉三个男生,四个女生排成一排,男生之间、女生之间不相邻,有几种不同排法?
捆绑法:
插空法:
〈2〉如果有两个男生、四个女生排成一排,要求男生之间不相邻,有几种不同排法?
插空法:
练习 1 2:
(三)特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。
例2 用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字
的三位数,其中偶数共有( )

分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数, 又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类;
0排在末尾时,有个;
0不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排十位有个;
由分类计数原理,共有偶数 30 个.
B
(1)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数?
(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的五位奇数?
练习 3
例6 有4名男生,3名女生。3名女生高矮互不等,
将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高
排列,有多少种排法?
(四)顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先将这几个元素与其它元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
所以共有种。
分析:先在7个位置上作全排列,有种排法。其中
3个女生因要求“从矮到高”排,只有一种顺序故只
对应一种排法,
(1) 五人排队,甲在乙前面的排法有几种?
练习 4
〈2〉三个男生,四个女生排成一排,其中甲、乙、丙三人的顺序不变,有几种不同排法?
分析:若不考虑限制条件,则有种排法,而甲,
乙之间排法有种,故甲在乙前面的排法只有一种
符合条件,故
符合条件的排法有种.
(五)分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题,若没有其他
的特殊要求,可采用统一排成一排的方法来处理.
例7 七人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐
4人,则有多少种不同的坐法?
分析:7个人,可以在前后排随意就坐,再无
其他限制条件,故两排可看作一排处理,所以
不同的坐法有种.